2008-安徽卷理-02 单-集合

本题导读

本题考查利用对数函数的值域求集合，并在此基础上进行集合的交、并、补集运算，考查了基本的运算求解能力。

📌【题干】

Question

（2008年安徽卷(理)） 集合 $A=\{y\in \mathbf{R}\mid y=\lg x,x>1\}$，$B=\{-2,-1,1,2\}$，则下列结论正确的是 ()

A. $A\cap B=\{-2,-1\}$　　　　　　　　　　　　　　B. $({\complement }_{\mathbf{R}}A)\cup B=(-\infty ,0)$

C. $A\cup B=(0,+\infty )$　　　　　　　　　　　　　　D. $({\complement }_{\mathbf{R}}A)\cap B=\{-2,-1\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解对数不等式求出集合 $A$，并求出其补集 ${\complement }_{\mathbf{R}}A$。
2. 将集合 $A$ 及 ${\complement }_{\mathbf{R}}A$ 与已知离散集合 $B$ 分别进行交、并集运算，逐一核对选项。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

因为 $x>1$，且对数函数 $y=\lg x$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增， 所以 $y>\lg 1=0$，即 $A=(0,+\infty )$。 从而 ${\complement }_{\mathbf{R}}A=(-\infty ,0]$。 已知 $B=\{-2,-1,1,2\}$。 对于 (A)：$A\cap B=\{1,2\}$，错误； 对于 (B)：$({\complement }_{\mathbf{R}}A)\cup B=(-\infty ,0]\cup \{1,2\}$，错误； 对于 (C)：$A\cup B=\{-2,-1\}\cup (0,+\infty )$，错误； 对于 (D)：$({\complement }_{\mathbf{R}}A)\cap B=(-\infty ,0]\cap \{-2,-1,1,2\}=\{-2,-1\}$，正确。 故选 (D)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数函数的单调性，连续数集与离散数集的交并补运算。
2. 核心方法：数轴法，将连续区间与离散点集标在数轴上直观求解。
3. 避坑指南：求补集时注意端点值的开闭，集合 $A$ 中不包含 $0$，其补集必包含 $0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 考查集合与基本初等函数的值域相结合的常规题型，源于教材对数函数性质的延伸。
2. 结论推广: 集合问题常作为函数的定义域、值域或不等式解集的载体，解题关键在于“化简集合”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2009-上海卷文-02 填-集合并集定参
• 2009-上海卷文-04 填-框图分段函数