2008-山东卷理-10 单-椭圆

本题导读

本题将椭圆与双曲线的几何定义进行交织考查。核心意图是利用椭圆的长轴与离心率精准求出其焦点坐标，再根据双曲线的几何定义，利用相同的焦点及给定的距离差绝对值，推导求出双曲线的标准方程。

📌【题干】

Question

（2008年山东卷(理)） 设椭圆 $C_1$ 的离心率为 $\frac{5}{13}$，焦点在 $x$ 轴上且长轴长为 26.若曲线 $C_2$ 上的点到椭圆 $C_1$ 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 $C_2$ 的标准方程为 ()

A. $\frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{3^2}=1$　　　　　　　　　　　B. $\frac{x^2}{13^2}-\frac{y^2}{5^2}=1$

C. $\frac{x^2}{3^2}-\frac{y^2}{4^2}=1$　　　　　　　　　　　D. $\frac{x^2}{13^2}-\frac{y^2}{12^2}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据椭圆的长轴长 $2a_1=26$ 和离心率 $e_1=\frac{c_1}{a_1}=\frac{5}{13}$，求出椭圆的半焦距 $c_1$，从而确定两焦点坐标。
2. 依据双曲线的定义，确定新曲线 $C_2$ 是以该两点为焦点的双曲线，由距离差的绝对值 $2a_2=8$ 求出实半轴 $a_2$，再利用 $b^2=c^2-a^2$ 写出方程。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由椭圆 $C_1$ 的长轴长 $2a_1=26$，解得 $a_1=13$。 又离心率 $e_1=\frac{c_1}{a_1}=\frac{5}{13}$，解得焦距的一半 $c_1=5$。 由于焦点在 $x$ 轴上，所以椭圆 $C_1$ 的两个焦点坐标分别为 $F_1(-5,0)$ 和 $F_2(5,0)$。 因为曲线 $C_2$ 上的点到 $F_1,F_2$ 的距离的差的绝对值等于 8， 根据双曲线的几何定义，曲线 $C_2$ 是以 $F_1,F_2$ 为焦点的双曲线。 其焦距 $2c_2=10⟹c_2=5$； 实轴长 $2a_2=8⟹a_2=4$。 则双曲线的虚半轴平方 $b_2^2=c_2^2-a_2^2=5^2-4^2=3^2$。 由于焦点在 $x$ 轴上，双曲线 $C_2$ 的标准方程为 $\frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{3^2}=1$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆锥曲线（椭圆、双曲线）的标准方程形态，双曲线的几何第一定义。
2. 核心方法：定义转化法。
3. 避坑指南：看清焦点所在的坐标轴。本题明确交代焦点在 $x$ 轴上，由此排除 B、C、D 等不合焦距或轴向错误的干扰项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于教材中对“共焦点的圆锥曲线族”概念的精简变形，属于典型的基础概念串联题。
2. 结论推广: 椭圆 $\frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1$ 与双曲线 $\frac{x^2}{a_2^2}-\frac{y^2}{b_2^2}=1$ 共焦点的充要条件为 $a_1^2-b_1^2=a_2^2+b_2^2=c^2$。

🔗【关联脉络】

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• （待补）

类题演练 (Links)

• 2011-浙江卷文-09 单-椭圆与双曲线渐近线
• 2011-浙江卷理-08 单-椭圆双曲线
• 2012-山东卷理-10 单-椭圆与双曲线