2008-山东卷理-13 填-程序框图

本题导读

本题考查算法程序框图中的当型循环结构。核心意图是通过逐步迭代追踪循环变量 $S$ 与 $n$ 的数值变化，并在满足终止条件时输出正确的计数变量 $n$。

📌【题干】

Question

（2008年山东卷(理)） 执行下面的程序框图，若 $p=0.8$，则输出的 $n=$ $\underline{}$.

[Flowchart from image]

🔍【思路分析】

破题导航

1. 初始化：输入 $p=0.8$，设定初始值 $n=1,S=0$。
2. 循环追踪：判断条件 $S<p$ 是否成立。若成立，执行循环体 $S=S+\frac{1}{2^n}$ 且 $n=n+1$，直到 $S\ge 0.8$ 时终止循环，输出此时的 $n$ 值。

✅【答案】

点击查看答案

$4$

✍【详细解析】

Abstract

根据程序框图进行逐步迭代计算：

• 初始化：$p=0.8,n=1,S=0$；
• 第 1 次循环：判断 $S=0<0.8$ 成立，执行循环体： $S=0+\frac{1}{2^1}=0.5,n=1+1=2$
• 第 2 次循环：判断 $S=0.5<0.8$ 成立，执行循环体： $S=0.5+\frac{1}{2^2}=0.5+0.25=0.75,n=2+1=3$
• 第 3 次循环：判断 $S=0.75<0.8$ 成立，执行循环体： $S=0.75+\frac{1}{2^3}=0.75+0.125=0.875,n=3+1=4$
• 第 4 次判定：此时 $S=0.875$，判断 $S=0.875<0.8$ 不成立（转到“否”），退出循环，输出结果 $n=4$。

答案：4

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：算法框图的条件判定与循环次数追踪。
2. 核心方法：循环迭代法。逐一列举每次循环后各变量的最新值。
3. 避坑指南：必须分清循环体中更新 $S$ 与 $n$ 的先后顺序。本题是先将当前的 $n$ 代入计算 $S$，再使 $n$ 自增 1。同时要抓准退出循环时的瞬间变量值，极易在最后一次判断时多算或少算一次导致错写为 3 或 5。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于计算机算法基础中利用循环逼近级数和的结构设计，将其与高中的等比数列前 $n$ 项和知识相结合。
2. 结论推广: 本题中 $S$ 的代数本质是有限级数 ${\sum }_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2^k}=1-\frac{1}{2^{n-1}}$。当给定任意边界 $p\in (0,1)$ 时，输出的 $n$ 值为满足 $1-\frac{1}{2^{n-1}}\ge p$ 的最小正整数 $n$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-23 解-等比数列
• 2009-北京卷理-20 解-等比数列
• 2009-北京卷文-10 填-等比数列求和