2008-山东卷理-16 填-绝对值不等式

本题导读

本题考查含参绝对值不等式的解法及整数解的离散控制。解题核心在于将绝对值不等式化为常规开区间形式，再利用目标整数解的边界对区间的左右端点进行双向夹逼限制。

📌【题干】

Question

（2008年山东卷(理)） 若不等式 $|3x-b|<4$ 的解集中的整数有且仅有 1, 2, 3，则 $b$ 的取值范围为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解含参绝对值不等式，将其转化为关于 $x$ 的对称开区间 $\left(\frac{b-4}{3},\frac{b+4}{3}\right)$。
2. 根据解集中“有且仅有整数 1, 2, 3”，说明该区间必须完整包含 1 和 3，而相邻的外部整数 0 和 4 必须落在区间外部，由此列出区间端点的双向不等式组。

✅【答案】

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$A，B，D$

✍【详细解析】

Abstract

解不等式 $|3x-b|<4$，展开去绝对值号得： $-4<3x-b<4$ 各项同时加上 $b$ 得： $b-4<3x<b+4$ 各项同时除以 3 得解集区间： $\frac{b-4}{3}<x<\frac{b+4}{3}$ 该开区间的几何长度为 $\frac{b+4}{3}-\frac{b-4}{3}=\frac{8}{3}$。 因为该区间内的整数有且仅有 1, 2, 3 三个连续整数， 所以，区间的左端点 $\frac{b-4}{3}$ 必须在整数 0 和 1 之间（可等于 0 但不能等于 1）； 同理，右端点 $\frac{b+4}{3}$ 必须在整数 3 和 4 之间（可等于 4 但不能等于 3）。 由此列出双向边界控制不等式组： $\{\begin{array}{l}0\le \frac{b-4}{3}<1\\ 3<\frac{b+4}{3}\le 4\end{array}$ 解第一个不等式组： $0\le b-4<3⟹4\le b<7$； 解第二个不等式组： $9<b+4\le 12⟹5<b\le 8$。 对这两个参数范围求交集，得到最终 $b$ 的取值范围： $5<b<7$

答案：$5<b<7$（或写成 $(5,7)$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：一元一次绝对值不等式的代数通解，数轴上连续整数根的区间边界控制条件。
2. 核心方法：边界夹逼法。
3. 避坑指南：端点处开闭状态（即是否带等号）极易混淆。因为原不等式是开区间，当左端点 $\frac{b-4}{3}=0$ 时，区间不包含 0，符合题意，故可取等号；若左端点等于 1，则区间将不包含 1，不符题意，故不可取等号。右端点同理分析。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题由初中阶段“一元一次不等式组的整数解”问题升级而来，结合了高中绝对值不等式与数轴集合的交汇，注重考查逻辑审慎度。
2. 结论推广: 若开区间 $(m,n)$ 内包含且仅包含 $k$ 个指定的连续整数，且区间长度固定的前提下，其端点平移的容许界限由最外侧整数及相邻墙角整数的开闭严格限定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2009-湖北卷文-13 填-集合交集与不等式
• 2012-天津卷文-09 填-绝对值不等式与整数集合
• 2009-上海卷文-02 填-集合并集定参