2008-山东卷理-19 解-等差数列

本题导读

本题以数表为载体，主要考查由数列递推关系求通项公式、等差数列的证明以及等比数列的应用。第一问需要通过代数变形，利用构造法证明等差数列并求出通项公式；第二问通过行数与项数的关系确定特定项所在的行与列，结合等比数列性质求出公比，最后利用等比数列求和公式求解。

📌【题干】

Question

（2008年山东卷(理)） 将数列 $\{a_n\}$ 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

$$\begin{array}{cccc}{a}_1& & & \\ a_2& a_3& & \\ a_4& a_5& a_6& \\ a_7& a_8& a_9& a_{10}\\ \cdots & \cdots & & \end{array}$$

记表中的第一列数 $a_1,a_2,a_4,a_7,\cdots$ 构成的数列为 $\{b_n\}$，$b_1=a_1=1$.$S_n$ 为数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $\frac{2b_n}{b_n{S}_n-S_n^2}=1(n\ge 2)$.

(1) 证明数列 $\left\{\frac{1}{S_n}\right\}$ 成等差数列，并求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式；

(2) 上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当 $a_{81}=-\frac{4}{91}$ 时，求上表中第 $k(k\ge 3)$ 行所有项的和.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：由于给出的递推式中同时含有 $b_n$ 与 $S_n$，利用 $b_n=S_n-S_{n-1}(n\ge 2)$ 进行消元，将已知条件化为仅含 $S_n$ 与 $S_{n-1}$ 的代数式，再通过两边同除以 $S_n{S}_{n-1}$ 构造出等差数列的定义形式。
2. 第二步逻辑：利用前 $n$ 行包含的总项数公式 $N_n=\frac{n(n+1)}{2}$，通过不等式夹逼确定 $a_{81}$ 所在的具体行数和列数。利用该行首项与 $a_{81}$ 的值求出公比 $q$，最后结合等比数列求和公式写出第 $k$ 行的和。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明及求通项： 当 $n\ge 2$ 时，由 $\frac{2b_n}{b_n{S}_n-S_n^2}=1$ 变形得： $2b_n=b_n{S}_n-S_n^2$ 将 $b_n=S_n-S_{n-1}$ 代入上式，得： $2(S_n-S_{n-1})=(S_n-S_{n-1})S_n-S_n^2$ 展开并化简得： $2S_n-2S_{n-1}=-S_n{S}_{n-1}$ 因为 $b_1=1>0$，由递推关系易知 $S_n>0$。两边同除以 $2S_n{S}_{n-1}$，得： $\frac{1}{S_{n-1}}-\frac{1}{S_n}=-\frac{1}{2}⟹\frac{1}{S_n}-\frac{1}{S_{n-1}}=\frac{1}{2}$ 所以数列 $\left\{\frac{1}{S_n}\right\}$ 是以 $\frac{1}{S_1}=\frac{1}{b_1}=1$ 为首项，$\frac{1}{2}$ 为公差的等差数列。 由此可得： $\frac{1}{S_n}=1+(n-1)\cdot \frac{1}{2}=\frac{n+1}{2}⟹S_n=\frac{2}{n+1}$ 当 $n\ge 2$ 时： $b_n=S_n-S_{n-1}=\frac{2}{n+1}-\frac{2}{n}=-\frac{2}{n(n+1)}$ 当 $n=1$ 时，$b_1=1$，不满足上式。 故数列 $\{b_n\}$ 的通项公式为： $b_n=\{\begin{array}{ll}1,& n=1\\ -\frac{2}{n(n+1)},& n\ge 2\end{array}$

(2) 求第 $k$ 行所有项的和： 设数表中前 $n$ 行共有 $N_n$ 项，则 $N_n=\frac{n(n+1)}{2}$。 当 $n=12$ 时，$N_{12}=\frac{12\times 13}{2}=78$； 当 $n=13$ 时，$N_{13}=\frac{13\times 14}{2}=91$。 因为 $78<81\le 91$，所以 $a_{81}$ 位于第 $13$ 行，且是该行的第 $81-78=3$ 个数。 设各行的共同公比为 $q(q>0)$，则有： $a_{81}=b_{13}\cdot q^2$ 由 (1) 知，当 $n=13$ 时，$b_{13}=-\frac{2}{13\times 14}=-\frac{1}{91}$。 代入得 $-\frac{1}{91}\cdot q^2=-\frac{4}{91}⟹q^2=4$。 又 $q>0$，解得 $q=2$。 对于第 $k(k\ge 3)$ 行，该行共有 $k$ 项，首项为 $b_k=-\frac{2}{k(k+1)}$，公比为 $2$。 因此，第 $k$ 行所有项的和为： $T_k=\frac{b_k(1-2^k)}{1-2}=b_k(2^k-1)=-\frac{2(2^k-1)}{k(k+1)}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：数列中 $a_n$ 与 $S_n$ 的递推转化，等差与等比数列的通项与前 $n$ 项和公式的应用。
2. 核心方法：倒数代换构造法；数阵问题中通过前 $n$ 项和公式进行行列双向定位。
3. 避坑指南：在由 $S_n$ 求解通项 $b_n$ 时，切记要单独检验 $n=1$ 的情况。本题中 $b_1=1$ 明显不符合 $n\ge 2$ 的统一形式，必须采用分段函数形式书写通项公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于经典的高考数阵与新定义创新题型，其第一问的递推形式 $\frac{2b_n}{b_n{S}_n-S_n^2}=1$ 实际上源自高观点下的差分方程，通过对偶倒数代换将其退化为常规的齐次等差状态。
2. 结论推广：若将第一问的一般递推形式推广为 $\frac{p\cdot b_n}{b_n{S}_n-S_n^2}=1(p\ne 0)$，则对应的倒数差满足 $\frac{1}{S_n}-\frac{1}{S_{n-1}}=\frac{1}{p}$，其阶数性质与求导数发散链的离散化表现高度一致。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-19 解-等差等比数列
• 2009-浙江卷文-20 解-等差数列通项等比
• 2009-福建卷文-17 解-等差等比数列