2008-广东卷文-03 单-向量共线坐标求和

本题导读

由 $a\parallel b$ 得 $m+4=0$，$b=(-2,-4)$；$2a+3b=(2-6,4-12)=(-4,-8)$.

📌【题干】

Question

（2008年广东卷(文)） 已知平面向量 $a=(1,2)$，$b=(-2,m)$，且 $a\parallel b$，则 $2a+3b=$()

A. $(-2,-4)$　　B. $(-3,-6)$　　C. $(-4,-8)$　　D. $(-5,-10)$

🔍【思路分析】

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共线坐标条件 $1\cdot m-(-2)\cdot 2=0$ 定出 $m=-4$，再代坐标计算 $2a+3b$.

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由 $a\parallel b$，存在实数 $k$ 使 $b=ka$．比较第一坐标得 $k=-2$，从而 $m=-4$，即 $b=(-2,-4)$. 因此 $2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8)$，故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平面向量共线的坐标表示

核心方法：$x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$ 先定参数，再做线性组合

避坑指南：共线条件是交叉相乘相等：$1\cdot m=(-2)\cdot 2$，$m=-4$；别把 $2a+3b$ 的系数与坐标分量搞混，横纵坐标分别乘加

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量共线的坐标条件与线性组合的常规考查

结论推广：共线 $⟺$ 存在实数 $\lambda$ 使 $b=\lambda a$，两条路径等价

方法推广：坐标向量题先定参数再运算，两步走避免联立混乱

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2012-广东卷理-03 单-三角
• 2011-广东卷理-03
• 2014-广东卷理-05 单-空间向量的夹角