2008-广东卷文-04 单-等差数列前n和定公差

本题导读

$S_2=2a_1+d=4$，$S_4=4a_1+6d=20$，相减消去 $a_1$ 得 $d=3$.

📌【题干】

Question

（2008年广东卷(文)） 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $S_2=4$，$S_4=20$，则该数列的公差 $d=$()

A. $7$　　　　　　　B. $6$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

$S_4-2S_2=4d$ 是现成结构，即 $20-8=4d$，口算 $d=3$.

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设首项为 $a_1$，公差为 $d$．由等差数列前几项的和，得 $S_2=2a_1+d=4$，$S_4=4a_1+6d=20$. 用第二式减去第一式的两倍，得 $4d=12$，所以 $d=3$，故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列的前 $n$ 项和

核心方法：$S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$ 列两个方程消元

避坑指南：$S_4=4a_1+6d$ 而不是 $4a_1+4d$——系数 $\frac{n(n-1)}{2}=6$；直接用 $S_4-2S_2=4d$ 最快

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列前 $n$ 项和的基本方程组，课本习题原型

结论推广：$S_{2n}=2S_n+n^{2}d$ 等和差结构可快速求 $d$

方法推广：$S_n$ 的线性性：相邻和式相减即得某段和，消元比解方程快

🔗【关联脉络】

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