2007-江西卷文-14 填-等差数列前n项和的性质

本题导读

本题考查等差数列，以及前 n 项和的性质。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(文)） 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $S_{12}=21$，则 $a_2+a_5+a_8+a_{11}=$　　。

🔍【思路分析】

破题导航

1. $S_{12}=\frac{12(a_1+a_{12})}{2}=6(a_1+a_{12})=21\Rightarrow a_1+a_{12}=\frac{7}{2}$。
2. 下标和相等：$2+11=5+8=1+12=13$，故 $a_2+a_{11}=a_5+a_8=a_1+a_{12}=\frac{7}{2}$。
3. 四数和 $=\frac{7}{2}+\frac{7}{2}=7$。

✅【答案】

点击查看答案

7

✍【详细解析】

Abstract

设首项 $a_1$、公差 $d$，则 $a_k=a_1+(k-1)d$． 由前 $n$ 项和公式 $S_{12}=\frac{12(a_1+a_{12})}{2}=6(a_1+a_{12})=21$，得 $a_1+a_{12}=2a_1+11d=\frac{7}{2}$． 又 $a_2+a_{11}=2a_1+11d=\frac{7}{2}$，$a_5+a_8=2a_1+11d=\frac{7}{2}$， 故 $a_2+a_5+a_8+a_{11}=\frac{7}{2}+\frac{7}{2}=7$． （关键：等差数列中下标和相等则项和相等，$2+11=5+8=1+12$．）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列前n项和的性质

核心方法：$S_{12}=6(a_1+a_{12})$；$a_2+a_{11}=a_5+a_8=a_1+a_{12}$

避坑指南：等差数列下标和相等则项和相等：$2+11=5+8=1+12$；先由 $S_{12}$ 求 $a_1+a_{12}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列前 $n$ 项和与下标和性质，数列基础题

结论推广：$a_m+a_n=a_p+a_q$ 当 $m+n=p+q$；$S_{2n}=(2n-1)a_n$ 型结论

方法推广：等差数列下标和配对法处理”隔项求和”

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练(Links)

• 2007-辽宁卷文-05 单-等差数列和的性质
• 2007-大纲卷II文-14 填-等差数列求和
• 2007-安徽卷文-03 单-等差数列前 n 项和
• 2008-广东卷文-04 单-等差数列前n和定公差