2008-广东卷文-05 单-三角降幂判奇偶周期

本题导读

$f(x)=\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x=\frac{1}{4}(1-\cos 4x)$，偶函数，周期 $T=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$.

📌【题干】

Question

（2008年广东卷(文)） 已知函数 $f(x)=(1+\cos 2x){\sin }^{2}x$，$x\in \mathbf{R}$，则 $f(x)$ 是()

A. 最小正周期为 $\pi$ 的奇函数　　　　　B. 最小正周期为 $\pi$ 的偶函数

C. 最小正周期为 $\frac{\pi }{2}$ 的奇函数　　　　D. 最小正周期为 $\frac{\pi }{2}$ 的偶函数

🔍【思路分析】

破题导航

先用 $1+\cos 2x=2{\cos }^{2}x$ 合并成 ${\sin }^{2}2x$，再降幂：关于 $x$ 全为偶次，必为偶函数；周期看 $\cos 4x$ 的 $\omega =4$.

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

利用 $1+\cos 2x=2{\cos }^{2}x$，有 $f(x)=2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x=\frac{1}{4}(1-\cos 4x)$. 由最后一个式子可知 $f(-x)=f(x)$，所以它是偶函数；又因为 $\cos 4x$ 的最小正周期为 $\frac{\pi }{2}$，且系数非零，$f(x)$ 的最小正周期也是 $\frac{\pi }{2}$，故选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的奇偶性与周期

核心方法：降幂公式化成 $A\cos \omega x+B$ 型再读性质

避坑指南：${\sin }^{2}2x$ 是偶次幂，必为偶函数；周期由 $\omega =4$ 给 $\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$，别把 $1+\cos 2x$ 的 $\omega =2$ 当成整体周期

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角降幂与周期奇偶的标准组合，2004 广东理 5 同型

结论推广：$f(x)=\frac{1}{4}(1-\cos 4x)$ 型：$A\cos \omega x+B$ 的周期 $\frac{2\pi }{\omega }$、奇偶看 $B$ 平移与 $\omega$ 奇偶

方法推广：见到 ${\sin }^2\cdot {\cos }^2$ 先降幂到一次式，性质一目了然

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2015-广东卷理-15 填-圆的切线
• 2015-广东卷理-11 填-正弦定理
• 2004-广东卷理-05 单-三角恒等变换