2008-广东卷文-09 单-导数极值点定参

本题导读

$y^{\prime }={\mathrm{e}}^x+a$，极值点 $x_0=\ln (-a)>0⟺-a>1⟺a<-1$.

📌【题干】

Question

（2008年广东卷(文)） 设 $a\in \mathbf{R}$，若函数 $y={\mathrm{e}}^x+ax$（$x\in \mathbf{R}$）有大于零的极值点，则()

A. $a<-1$　　　　　B. $a>-1$　　　　　C. $a>-\frac{1}{\mathrm{e}}$　　　　　D. $a<-\frac{1}{\mathrm{e}}$

🔍【思路分析】

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极值点存在 $\Rightarrow {\mathrm{e}}^{x_0}+a=0$ 有解且 $a<0$；位置大于零即 $\ln (-a)>0$.

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

函数的导数为 $y^{\prime }={\mathrm{e}}^x+a$．若有极值点，则存在 $x_0$ 使 ${\mathrm{e}}^{x_0}+a=0$，所以 $a<0$，且 $x_0=\ln (-a)$. 极值点横坐标大于零等价于 $\ln (-a)>0$，即 $-a>1$，所以 $a<-1$，故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数与极值点位置

核心方法：$y^{\prime }=0$ 有正根 $⟺\ln (-a)>0⟺a<-1$

避坑指南：极值点存在已隐含 $a<0$，别只写 $a<0$ 就选；$x_0>0$ 要对 $\ln (-a)$ 用单调性翻译，不等号方向别反

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含参指数函数极值点位置，2006 广东 9 同型，导数应用入门题

结论推广：$y={\mathrm{e}}^x+ax$ 的极值点 $x_0=\ln (-a)$：$a<-1$ 时在 $x>0$，$a=-1$ 时极值点退化为 $x=0$

方法推广：参数与极值点位置互译：解出 $x_0$ 的显式表达，再把位置条件翻成参数不等式

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2006-广东卷-09 单-线性规划最值范围
• 2015-广东卷理-14 填-极坐标
• 2015-广东卷理-19 解-导数单调性