2011-福建卷理-18 解-三角函数图像

本题导读

本题考查函数解析式的确定。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(理)） 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 $y$（单位：千克）与销售价格 $x$（单位：元/千克）满足关系式 $y=\frac{a}{x-3}+10(x-6{)}^2$，其中 $3<x<6$，$a$ 为常数. 已知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克.

(1) 求 $a$ 的值；

(2) 若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 $x$ 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：将 $x=5,y=11$ 代入关系式，建立关于常数 $a$ 的一元一次方程求解。
2. 第二问：

• 设每日销售该商品所获得的利润为 $L(x)$，利润公式为：$\text{利润}=(\text{售价}-\text{成本})\times \text{销售量}$，即 $L(x)=(x-3)y$。
• 代入 $y$ 的解析式，化简目标函数 $L(x)=2+10(x-3)(x-6{)}^2$。
• 对 $L(x)$ 求导，确定导函数的零点，分析在定义域 $(3,6)$ 内的单调性，得出极大值点及最大值点。

✅【答案】

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(1) 待补

(2) 待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 因为当销售价格 $x=5$ 元/千克时，每日可售出该商品 $y=11$ 千克， 将其代入关系式 $y=\frac{a}{x-3}+10(x-6{)}^2$，得：

$$11=\frac{a}{5-3}+10(5-6{)}^2,$$

即

$$11=\frac{a}{2}+10⟹\frac{a}{2}=1⟹a=2.$$

所以 $a$ 的值为 $2$。

(2) 解： 由 (1) 知，$y=\frac{2}{x-3}+10(x-6{)}^2$ ($3<x<6$)。 设商场每日销售该商品所获得的利润为 $L(x)$ 元。 因为商品的成本为 3 元/千克，所以每千克的利润为 $(x-3)$ 元。 则日利润函数为：

$$\begin{array}{rl}L(x)& =(x-3)y\\ & =(x-3)\left[\frac{2}{x-3}+10(x-6{)}^2\right]\\ & =2+10(x-3)(x-6{)}^2(3<x<6).\end{array}$$

对 $L(x)$ 关于 $x$ 求导：

$$\begin{array}{rl}{L}^{\prime }(x)& =10\left[(x-3{)}^{\prime }(x-6{)}^2+(x-3){\left((x-6{)}^2\right)}^{\prime }\right]\\ & =10\left[(x-6{)}^2+2(x-3)(x-6)\right]\\ & =10(x-6)\left[(x-6)+2(x-3)\right]\\ & =10(x-6)(3x-12)\\ & =30(x-6)(x-4).\end{array}$$

令 $L^{\prime }(x)=0$，解得 $x_1=4$，$x_2=6$（舍去，因为 $3<x<6$）。

当 $x$ 变化时，$L^{\prime }(x)$ 与 $L(x)$ 的变化情况如下表：

$x$	$(3,4)$	$4$	$(4,6)$
$L^{\prime }(x)$	$+$	$0$	$-$
$L(x)$	单调递增	极大值	单调递减

由表可知，当 $x=4$ 时，$L(x)$ 取得极大值，也是开区间 $(3,6)$ 上的唯一极值，即为最大值。 此时 $L(4)=2+10(4-3)(4-6{)}^2=2+10\times 1\times 4=42$ 元。

答：当销售价格定为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：导数在实际最值问题中的建模应用、积的求导法则。
• 核心方法：构建目标函数 $\to$ 求导找驻点 $\to$ 列表判定增减性 $\to$ 下结论。
• 避坑指南：
• 展开 $(x-3)(x-6{)}^2$ 前可直接用乘积求导法则提取公因式 $(x-6)$，避免展开为三次多项式增加计算量与出错率；
• 必须注明自变量的定义域 $3<x<6$，开区间上的最值点必须通过单调性说明其为最大值点。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：经典的微观经济学利润最大化模型（边际收益等于边际成本 $\text{MR}=\text{MC}$ 的离散函数表述）。
• 结论推广：形如 $f(x)=(x-x_0)(x_1-x{)}^2$ 的函数在区间 $(x_0,x_1)$ 上的最大值点满足经典三分点性质：极大值点必在 $x=\frac{2x_0+x_1}{3}$ 处取得（本题中 $\frac{2\times 3+6}{3}=4$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2008-四川卷文-20 解-五次函数极值定参
• 2008-安徽卷文-20 解-导数极值恒成立
• 2008-广东卷文-09 单-导数极值点定参