2014-广东卷理-16 解-正弦型函数解析式确定

本题导读

本题考查三角函数的综合应用。第一问通过特殊点求解析式中的系数；第二问考查两角和公式、同角三角函数关系以及诱导公式的综合运用。

📌【题干】

Question

（2014年广东卷(理)） 已知函数 $f(x)=A\sin (x+\frac{\pi }{4}),x\in \mathbb{R}$，且 $f(\frac{5\pi }{12})=\frac{3}{2}$.

(1) 求 $A$ 的值；

(2) 若 $f(\theta )+f(-\theta )=\frac{3}{2},\theta \in (0,\frac{\pi }{2})$，求 $f(\frac{3\pi }{4}-\theta )$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：将 $x=\frac{5\pi }{12}$ 代入解析式，利用特殊角的三角函数值求解 $A$。
2. 第二问：
   • 化简已知条件：利用两角和的正弦公式展开 $f(\theta )+f(-\theta )$，求出 $\cos \theta$。
   • 求解基本量：利用同角三角函数平方关系及范围确定 $\sin \theta$。
   • 目标化简：利用诱导公式将 $f(\frac{3\pi }{4}-\theta )$ 转化为简单的三角函数形式。

✅【答案】

点击查看答案

$f(\frac{3\pi }{4}-\theta )=\sqrt{3}\sin \theta =\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{10}}{4}=\frac{\sqrt{30}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $A$ 的值 由 $f(\frac{5\pi }{12})=\frac{3}{2}$ 得： $A\sin (\frac{5\pi }{12}+\frac{\pi }{4})=\frac{3}{2}$ $A\sin (\frac{5\pi +3\pi }{12})=\frac{3}{2}⟹A\sin (\frac{2\pi }{3})=\frac{3}{2}$ 因为 $\sin (\frac{2\pi }{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以： $A\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}⟹A=\sqrt{3}$

(2) 求 $f(\frac{3\pi }{4}-\theta )$ 的值 由(1)知 $f(x)=\sqrt{3}\sin (x+\frac{\pi }{4})$。 因为 $f(\theta )+f(-\theta )=\frac{3}{2}$，代入展开： $\sqrt{3}[\sin (\theta +\frac{\pi }{4})+\sin (-\theta +\frac{\pi }{4})]=\frac{3}{2}$ $\sqrt{3}[(\sin \theta \cos \frac{\pi }{4}+\cos \theta \sin \frac{\pi }{4})+(-\sin \theta \cos \frac{\pi }{4}+\cos \theta \sin \frac{\pi }{4})]=\frac{3}{2}$ $\sqrt{3}[2\cos \theta \sin \frac{\pi }{4}]=\frac{3}{2}$ $\sqrt{3}\cdot 2\cos \theta \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{2}⟹\sqrt{6}\cos \theta =\frac{3}{2}$ 解得 $\cos \theta =\frac{3}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$。 由于 $\theta \in (0,\frac{\pi }{2})$，则 $\sin \theta =\sqrt{1-{\cos }^2\theta }=\sqrt{1-\frac{6}{16}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$。

计算待求式： $f(\frac{3\pi }{4}-\theta )=\sqrt{3}\sin (\frac{3\pi }{4}-\theta +\frac{\pi }{4})=\sqrt{3}\sin (\pi -\theta )$ 利用诱导公式 $\sin (\pi -\theta )=\sin \theta$： $f(\frac{3\pi }{4}-\theta )=\sqrt{3}\sin \theta =\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{10}}{4}=\frac{\sqrt{30}}{4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦型函数解析式与三角恒等变换。

2. 核心方法：由特殊点求 $A$，展开 $f(\theta )+f(-\theta )$ 求 $\cos \theta$，用诱导公式求值。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 两角和公式与诱导公式。

2. 结论推广: $f(\theta )+f(-\theta )$ 化简消去 $\sin \theta$ 得 $\cos \theta$。

3. 方法推广: 求三角函数值先由条件解基本量再恒等变形。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷文-13 填-函数解析式
• 2013-福建卷理-20 解-解析式确定
• 2015-福建卷文-14 填-正弦定理