2008-广东卷文-17 解-均值不等式楼层费用

本题导读

$y=560+48x+\frac{10800}{x}⩾560+1440=2000$，等号当 $48x=\frac{10800}{x}$ 即 $x=15$.

📌【题干】

Question

（2008年广东卷(文)） 某单位用 2160 万元购得一块空地．计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为 $x$ 层（$x⩾10$），则每平方米的平均建筑费用为 $560+48x$（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ （注：平均综合费用 = 平均建筑费用 + 平均购地费用，平均购地费用 = 购地总费用 ÷ 建筑总面积）

🔍【思路分析】

破题导航

购地总费用 $2160\times 10^4$ 元摊到 $2000x$ 平方米上得 $\frac{10800}{x}$；$48x$ 与 $\frac{10800}{x}$ 之积为定值，均值不等式一步到位，最后核对 $x=15⩾10$.

✅【答案】

点击查看答案

该楼房应建为 15 层

✍【详细解析】

Abstract

设每平方米的平均综合费用为 $y$ 元．购地总费用为 $2160\times 10^4$ 元，建成 $x$ 层时建筑总面积为 $2000x$ 平方米，所以 $y=560+48x+\frac{2160\times 10^4}{2000x}=560+48x+\frac{10800}{x}$，其中 $x⩾10$. 由基本不等式，$48x+\frac{10800}{x}⩾2\sqrt{48x\cdot \frac{10800}{x}}=1440$，等号成立当且仅当 $48x=\frac{10800}{x}$，即 $x^2=225$．由于 $x⩾10$，得 $x=15$.因此该楼房应建为 15 层.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：基本不等式建模

核心方法：综合费用 $y=560+48x+\frac{10800}{x}$，积定型和最小

避坑指南：等号条件 $x=15$ 必须回代验证 $x⩾10$；单位统一：2160 万元 = $2160\times 10^4$ 元，除以 $2000x$ 得 $\frac{10800}{x}$，系数算错全盘皆输

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：基本不等式实际应用（楼层层数最优），源于教材均值不等式应用题

结论推广：$px+\frac{q}{x}$ 型在 $x=\sqrt{q/p}$ 取最小，验证定义域后作答

方法推广：建模四步：设变量 → 列函数 → 用均值不等式 → 验证等号与实际约束

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2010-广东卷理-17
• 2008-广东卷理-17
• 2007-广东卷理-17 解-回归方程实际预测应用