2008-广东卷理-07 单-导数

本题导读

本题考查利用导数研究函数的极值问题。解题核心在于将“函数有大于零的极值点”转化为导函数方程在 $(0,+\infty )$ 上有解的问题。

📌【题干】

Question

（2008年广东卷(理)） 设 $a\in \mathbf{R}$，若函数 $y=e^{ax}+3x,x\in \mathbf{R}$ 有大于零的极值点，则 ()

A. $a>-3$　　　　B. $a<-3$　　　　C. $a>-\frac{1}{3}$　　　　D. $a<-\frac{1}{3}$

🔍【思路分析】

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1. 对函数求导，得到导函数 $y^{\prime }$。
2. 令 $y^{\prime }=0$，将求极值点转化为求导函数零点方程。
3. 结合零点大于零的条件，通过指数与对数互化求出参数 $a$ 的取值范围。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

函数 $y=e^{ax}+3x$ 的导数为 $y^{\prime }=a{e}^{ax}+3$。 若函数有极值点，则导函数必有零点，令 $y^{\prime }=0$ 得 $a{e}^{ax}+3=0$，即 $e^{ax}=-\frac{3}{a}$。 因为 $e^{ax}>0$，所以 $-\frac{3}{a}>0$，从而必有 $a<0$。

由 $e^{ax}=-\frac{3}{a}$ 两边取自然对数得 $ax=\ln \left(-\frac{3}{a}\right)$， 解得极值点为 $x=\frac{1}{a}\ln \left(-\frac{3}{a}\right)$。

根据题意，该极值点大于零，即 $\frac{1}{a}\ln \left(-\frac{3}{a}\right)>0$。 因为 $a<0$，所以 $\ln \left(-\frac{3}{a}\right)<0$。 由此得 $0<-\frac{3}{a}<1$。 由于 $a<0$，两边同乘 $-a$ 改变不等号方向，得 $3<-a$，即 $a<-3$。

正确答案为：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：极值点是导函数符号发生改变的零点。
2. 核心方法：方程转化思想，把极值点存在性转化为方程根的分布。
3. 避坑指南：求出 $ax=\ln \left(-\frac{3}{a}\right)$ 后，在两边除以 $a$ 时极易忘记 $a<0$ 从而忽略不等号的方向改变。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是导数与指数函数复合的标准常规题，属于超越方程根的分布问题。
2. 结论推广: 函数 $f(x)=e^{ax}-kx$ ($k>0$) 在 $(0,+\infty )$ 内有极值点的充要条件为 $a<-k$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-19 解-偶函数与导数
• 2010-安徽卷文-20 解-三角函数导数单调极值
• 2010-重庆卷文-19 解-奇函数导数最值