2008-新课标卷文-13 填-等差数列求项

本题导读

考查等差数列基本量。 $a_{3} + a_{8} = (a_{5} - 2 d) + (a_{5} + 3 d) = 2 a_{5} + d = 22$ ， $a_{6} = a_{5} + d = 7$ ，两式相减得 $a_{5} = 15$ 。

📌【题干】

Question

（2008年新课标卷(文)）已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， $a_{3} + a_{8} = 22$ ， $a_{6} = 7$ ，则 $a_{5} =$ .

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设公差为 $d$ ，把 $a_{3}, a_{8}, a_{6}$ 都用 $a_{5}$ 与 $d$ 表示。

由 $a_{3} + a_{8} = 22$ 和 $a_{6} = 7$ 列出方程组。

消去 $d$ 求 $a_{5}$ 。

✅【答案】

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$15$

✍【详细解析】

Abstract

设公差为 $d$ ，则 $a_{3} = a_{5} - 2 d$ ， $a_{8} = a_{5} + 3 d$ ， $a_{6} = a_{5} + d$ . 由题设得 ${(a_{5} - 2 d) + (a_{5} + 3 d) = 22, a_{5} + d = 7,$ 即 ${2 a_{5} + d = 22, a_{5} + d = 7.$ 两式相减得 $a_{5} = 15$ . 检验：由 $a_{5} = 15$ ， $d = 7 - a_{5} = - 8$ ，得 $a_{3} = a_{5} - 2 d = 15 + 16 = 31$ ， $a_{8} = a_{5} + 3 d = 15 - 24 = - 9$ ，则 $a_{3} + a_{8} = 31 - 9 = 22$ ，与题设相符. 故 $a_{5} = 15$ .

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列的通项

核心方法： $2 a_{5} + d = 22$ 、 $a_{5} + d = 7$ ，相减得 $a_{5} = 15$

避坑指南：把 $a_{3}, a_{8}, a_{6}$ 都用 $a_{5}$ 与公差 $d$ 表示，列出两个方程后消去 $d$ ；也可用 $a_{n} = a_{6} + (n - 6) d$ 直接表达 $a_{3}, a_{8}$ 。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列基本量是数列填空的常客，2009 大纲Ⅰ文第 14 题、2010 辽宁文第 14 题同型。

结论推广： $a_{n} = a_{m} + (n - m) d$ ；等差数列中 $a_{3} + a_{8} = a_{5} + a_{6}$ （下标和相等）。

方法推广：优先用”下标和相等则项和相等”： $a_{3} + a_{8} = a_{5} + a_{6} = 22$ ，直接得 $a_{5} = 22 - 7 = 15$ ，一步到位。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

2009-新课标卷文-08 单-等差数列中项求和

2009-大纲卷I文-14 填-等差数列中项

2010-辽宁卷文-14 填-等差数列求通项

2011-天津卷文-11 填-等差数列基本量

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2008-新课标卷文-13 填-等差数列求项

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