2009-大纲卷I文-14 填-等差数列中项

本题导读

考查等差数列性质。 $S_{9} = 9 a_{5}$ 得 $a_{5} = 8$ ，而 $a_{2} + a_{4} + a_{9} = 3 a_{5}$ ，直接得 $24$ 。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(文)）设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{9} = 72$ ，则 $a_{2} + a_{4} + a_{9} =$ .

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$S_{9} = \frac{9 ( a _{1} + a _{9} )}{2} = 9 a_{5} = 72 \Rightarrow a_{5} = 8$ 。

$a_{2} + a_{4} + a_{9} = (a_{2} + a_{9}) + a_{4}$ ？更直接： $a_{2} + a_{4} + a_{9} = 3 a_{1} + 12 d = 3 (a_{1} + 4 d) = 3 a_{5}$ 。

✅【答案】

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$24$

✍【详细解析】

Abstract

等差数列前 $9$ 项和等于首末两项平均数乘以项数： $S_{9} = \frac{9 ( a _{1} + a _{9} )}{2} = 9 a_{5}$ ，故 $a_{5} = 8$ 。设公差为 $d$ ，则 $a_{2} + a_{4} + a_{9} = 3 a_{1} + 12 d = 3 (a_{1} + 4 d) = 3 a_{5} = 24$ 。故 $a_{2} + a_{4} + a_{9} = 24$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列的前 n 项和与性质

核心方法：中项法 $S_{9} = 9 a_{5}$ + 通项合并

避坑指南： $a_{2} + a_{4} + a_{9} = 3 a_{1} + 12 d = 3 (a_{1} + 4 d) = 3 a_{5}$ ，三项下标不对称时必须回到通项式合并。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列中项性质是数列模块第一考点。

结论推广： $n$ 为奇数时 $S_{n} = n a_{\frac{n + 1}{2}}$ 。

方法推广：下标不对称的项和统一展开为 $a_{1}$ 与 $d$ 的表达式再合并。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

2011-天津卷文-11 填-等差数列基本量

2011-福建卷文-17 解-等差数列基本量

2009-新课标卷文-08 单-等差数列中项求和

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2009-大纲卷I文-14 填-等差数列中项

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