2008-江西卷文-09 单-线面位置关系判定

本题导读

$m$ 斜交 $\alpha$：过 $m$ 且垂直 $\alpha$ 的平面由”m 与 α 法向量所定平面”唯一给出——这是唯一为真的命题，其余均可构造反例.

📌【题干】

Question

（2008年江西卷(文)） 设直线 $m$ 与平面 $\alpha$ 相交但不垂直，则下列说法中正确的是()

A. 在平面 $\alpha$ 内有且只有一条直线与直线 $m$ 垂直

B. 过直线 $m$ 有且只有一个平面与平面 $\alpha$ 垂直

C. 与直线 $m$ 垂直的直线不可能与平面 $\alpha$ 平行

D. 与直线 $m$ 平行的平面不可能与平面 $\alpha$ 垂直

🔍【思路分析】

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B 真：设 $n$ 为 $\alpha$ 法向量，由 $m$ 与 $n$ 确定的平面既含 $m$ 又垂直 $\alpha$，且唯一（$m$ 与 $n$ 不平行时）；A 错（α 内与 m 垂直的线有无数条，均平行于射影的垂线方向）；C、D 均可构造反例.

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

A 错：在 $\alpha$ 内与 $m$ 在 $\alpha$ 内的射影垂直的所有直线都与 $m$ 垂直（三垂线定理的逆用），这样的直线有无数条. B 对：设 $\mathbf{n}$ 是 $\alpha$ 的法向量，$m$ 与 $\alpha$ 相交但不垂直，则 $m$ 与 $\mathbf{n}$ 不平行. 由 $m$ 和 $\mathbf{n}$ 确定的平面记为 $\beta$，则 $\beta$ 过 $m$，且 $\beta$ 的法向量与 $\mathbf{n}$、$m$ 都垂直， 故 $\beta \perp \alpha$. 若另有平面 $\gamma$ 过 $m$ 且 $\gamma \perp \alpha$，则 $\gamma$ 的法向量既垂直 $m$ 又垂直 $\alpha$ 内与 $m$ 垂直的方向， 可证 $\gamma$ 与 $\beta$ 重合，故这样的平面有且只有一个. C 错：$\alpha$ 内与 $m$ 垂直的方向上，平移到 $\alpha$ 外可得与 $\alpha$ 平行且与 $m$ 垂直的直线. D 错：取 $\beta$（上述平面）的平行平面即可，它与 $\alpha$ 垂直且与 $m$ 平行. 故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与平面的位置关系判定

核心方法：用公理与判定定理逐条判断，假命题构造反例

避坑指南："$$\begin{gathered} a \\ subset \\ alpha,b \\ parallela \end{gathered}$$"只能推 $$\begin{gathered} b \\ parallel \\ alpha \end{gathered}$$ 或 $$\begin{gathered} b \\ subset \\ alpha \end{gathered}$$，不能直接得 $$\begin{gathered} b \\ parallel \\ alpha \end{gathered}$$；面面垂直、线面平行等定理的条件要完整

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线面位置关系判定（2010 大纲Ⅰ文 9、2012 浙江文 5）

结论推广：可推广到面面平行、面面垂直的判定与性质综合

方法推广：定理条件要完整，假命题用反例，真命题靠定理

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

类题演练 (Links)

• 2010-山东卷文-04 单-空间位置关系命题
• 2010-湖北卷文-04 单-空间线面位置关系命题
• 2009-浙江卷文-04 单-空间点线面位置关系
• 2009-福建卷文-10 单-面面平行充要条件