2008-江西卷文-15 填-球的弦长与距离最值

本题导读

弦长 $2\sqrt{7}$、$4\sqrt{3}$ 的弦心距分别为 $3$ 和 $2$；弦中点在过球心垂直于弦的直线上，与球心共线且分居两侧时距离最大 $3+2=5$.

📌【题干】

Question

（2008年江西卷(文)） 连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为 4 的球的两条弦 $AB$、$CD$ 的长度分别等于 $2\sqrt{7}$、$4\sqrt{3}$，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

$d_1=\sqrt{16-7}=3$，$d_2=\sqrt{16-12}=2$；两弦独立运动，中点各自落在距球心 3、2 的球面上（小球的球面），两球面上点距最大为 $3+2=5$.

✅【答案】

点击查看答案

$5$

✍【详细解析】

Abstract

设球心为 $O$，半径 $R=4$. 弦 $AB$ 的中点 $M$ 满足 $OM\perp AB$，$OM=\sqrt{R^2-{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2}=\sqrt{16-7}=3$； 弦 $CD$ 的中点 $N$ 满足 $ON\perp CD$，$ON=\sqrt{16-12}=2$. 弦两端在球面上运动时，中点 $M$ 的轨迹是以 $O$ 为球心、半径 3 的球面，$N$ 的轨迹是半径 2 的球面. 两球面上点的距离最大值为 $3+2=5$（$M$、$N$ 与 $O$ 共线且分居两侧时取得）.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球的弦长与弦心距

核心方法：截面圆半径 $r$、球半径 $R$、球心到截面距离 $d$ 满足 $r^2=R^2-d^2$

避坑指南：最大距离在直径两端取得；$AB$ 是弦长时先折半求半弦，再与球心距组合，别把弦长直接当半径用

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：球的截面与弦长（2010 新课标Ⅰ文 7、2012 辽宁文 16）

结论推广：推广到球面距离、多面体外接球

方法推广：$r^2=R^2-d^2$ 是球截面问题的不变公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-16 填-球截面与表面积
• 2009-大纲卷I文-15 填-球的截面
• 2010-大纲卷I文-12 单-球内四面体体积
• 2013-新课标I卷文-15 填-球截面与表面积