2008-江西卷文-19 解-等差等比裂项求和

本题导读

(1) 正整数等差 $a_1=3$，$S_2=8$、$S_3=15$，$b_2=8$、$b_3=64$ 给 $q=8$；(2) $\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)$ 裂项相消.

📌【题干】

Question

（2008年江西卷(文)） 等差数列 $\{a_n\}$ 各项均为正整数，$a_1=3$，前 $n$ 项和为 $S_n$，等比数列 $\{b_n\}$ 中，$b_1=1$，且 $b_2{S}_2=64$，$b_3{S}_3=960$.

(1) 求 $a_n$ 与 $b_n$；

(2) 求 $\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\cdots +\frac{1}{S_n}$.

🔍【思路分析】

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(1) $a_n=2n+1$，$S_n=n(n+2)$；$b_2=8$，$b_3=64$，$q=8$，$b_n=8^{n-1}$. (2) $\frac{1}{S_n}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)$，相消得 $\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{2(n+1)(n+2)}$.

✅【答案】

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(1) $a_n=2n+1$，$b_n=8^{n-1}$；(2) $\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{2(n+1)(n+2)}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设等差数列公差 $d$（各项为正整数），$a_1=3$，则 $a_n=3+(n-1)d$， $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=n(2+d)+\frac{n(n-1)}{2}d\cdot$… 直接由 $S_2$、$S_3$ 入手： $S_2=2a_1+d=6+d$，$S_3=3a_1+3d=9+3d$. 由 $b_1=1$、$\{b_n\}$ 等比，设公比 $q$，则 $b_2=q$，$b_3=q^2$. 依题意 $q(6+d)=64$，$q^2(9+3d)=960$. 两式相除：$\frac{q^2(9+3d)}{q(6+d)}=\frac{960}{64}=15$，即 $q\cdot \frac{9+3d}{6+d}=15$，$q\cdot \frac{3(3+d)}{6+d}=15$. 试 $d=2$：$\frac{3\times 5}{8}q=15$，$q=8$ ✓，且 $q(6+d)=8\times 8=64$ ✓.（$d$ 须为正整数，其余代入不齐） 故 $a_n=3+(n-1)\times 2=2n+1$，$b_n=8^{n-1}$. (2) $a_1+a_n=3+(2n+1)=2n+4$，$S_n=\frac{n(2n+4)}{2}=n(n+2)$. $\frac{1}{S_n}=\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)$. 求和相消：${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{S_k}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{2(n+1)(n+2)}$. 所以 $\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\cdots +\frac{1}{S_n}=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{2(n+1)(n+2)}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差等比基本量与裂项求和

核心方法：基本量法求 $a_n,b_n$，再对 $\frac{1}{b_n}$ 型裂项相消

避坑指南：$b_n=8^{n-1}$ 是等比，$frac1b_n$ 是等比数列的和不是裂项；裂项要看清通项结构，前 n 项和中残留项符号要核

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差等比与裂项求和（2010 江西文 19、2013 广东文 19）

结论推广：推广到 $\frac{1}{a_n{a}_{n+1}}$、$\frac{1}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n+1}}}$ 等裂项

方法推广：基本量定数列，再看通项结构选求和方法

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-19 解-等差等比数列
• 2009-福建卷文-17 解-等差等比数列
• 2010-大纲卷II文-18 解-等比数列通项与求和
• 2010-四川卷文-20 解-等差数列错位相减