本题导读
本题考查球的结构特征与截面圆的几何关系。核心在于把两条动弦抽象为球内两个截面圆上的弦，通过中点的轨迹与圆心距关系判断命题真伪。
📌【题干】
Question
（2008年江西卷(理)） 连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为 的球的两条弦 、 的长度分别等于 、，、 分别为 、 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦 、 可能相交于点 ；②弦 、 可能相交于点 ；③ 的最大值为 ；④ 的最小值为 . 其中真命题的个数为 ()
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
🔍【思路分析】
破题导航
- 由弦长和弦中点，反求球心到弦所在截面圆的距离（弦心距）。
- 将两条弦的中点 、 视为两个同心圆（以球心为圆心的截面圆）上的动点，分析其轨迹。
- 由两圆半径与圆心距判断 、 的最近距离与最远距离，并逐一验证四个命题的真伪。
✅【答案】
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C
✍【详细解析】
Abstract
设球的半径为 ，球心为 。
对弦 ：弦长 ，由弦长公式 ，得 即球心 到弦 所在截面圆的距离为 ，故 在以 为圆心、半径 的截面圆上运动，且 。
对弦 ：弦长 ，同理 故 在以 为圆心、半径 的截面圆上运动，且 。
由于 、 分别位于两个确定的同心圆（半径 与 ）上，且这两个圆可能不在同一平面内，但 、 的长度分别固定为 、。由三角形不等式与向量关系，、 的距离 满足： 且 可在 内取得任意值（通过调节两弦所在平面的二面角）。
逐一验证命题：
- 命题①「弦 、 可能相交于点 」： 是弦 的中点，满足 。弦 的弦心距为 ，故弦 上任意一点到球心 的距离在 之间，而 落在该区间内，因此可构造出 落在弦 上的情形，命题为真。
- 命题②「弦 、 可能相交于点 」： 是弦 的中点，满足 。弦 的弦心距为 ，故弦 上任意一点到球心 的距离在 之间，而 ，不在该区间内，因此 不可能落在弦 上，命题为假。
- 命题③「 的最大值为 」：两中点 、 到球心的距离分别恒为 、，由向量模不等式 ，且可调节两弦所在平面的夹角取到等号，命题为真。
- 命题④「 的最小值为 」：由 ，且可构造出 、、 共线同侧的情形取到等号，命题为真。
综上，真命题为 ①、③、④，共 个。
正确答案为：C
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：球的截面圆性质；弦长、弦心距、截面圆半径三者的勾股关系；立体几何中动点轨迹的分析。
- 核心方法：截面分析法——把球内动弦问题降维为截面圆上的动弦问题。
- 避坑指南：弦心距 、截面圆半径 、球半径 满足 ，务必先由弦长反解弦心距，切勿直接目测。判断两动点 、 的距离范围时，用 的向量模不等式。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源: 源自教材中球与截面圆的性质，是球内动弦问题的高频考查角度。
- 结论推广: 若半径为 的球内两条弦长分别为 、，其弦心距分别为 、，则两弦中点距离 的取值范围为 。
🔗【关联脉络】
Multi column