2009-湖北卷理-09 单-球

本题导读

本题考查导数的物理/几何意义、复合函数求导（链式法则），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年湖北卷(理)） 设球的半径为时间 $t$ 的函数 $R(t)$.若球的体积以均匀速度 $c$ 增长，则球的表面积的增长速度与球半径 ()

A. 成正比，比例系数为 $c$　　　　　　B. 成正比，比例系数为 $2c$

C. 成反比，比例系数为 $c$　　　　　　D. 成反比，比例系数为 $2c$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出球的体积 $V$ 和表面积 $S$ 关于半径 $R$ 的函数公式。
2. 利用链式法则分别求出 $\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}$ 和 $\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}$，建立两变化率之间的代数联系。

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D

✍【详细解析】

Abstract

球的体积公式为 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$，表面积公式为 $S=4\pi R^2$。 由题意，体积的增长速度为常数 $c$，即 $\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=c$。 根据复合函数求导的链式法则： $c=\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}R}\cdot \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}t}=4\pi R^2\cdot \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}t}$ 由此可得，半径的增长速度为：$\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}t}=\frac{c}{4\pi R^2}$。 球的表面积的增长速度为 $\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}$： $\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}R}\cdot \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}t}=8\pi R\cdot \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}t}$ 将 $\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}t}$ 代入上式得： $\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=8\pi R\cdot \frac{c}{4\pi R^2}=\frac{2c}{R}$ 因此，表面积的增长速度与球半径 $R$ 成反比，比例系数为 $2c$。 答案：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数作为变化率的实际应用，相关变化率（Related Rates）模型。
2. 核心方法：微积分链式法则。
3. 避坑指南：避免直接用静态的公式进行比例代换（例如错认为 $S$ 与 $R^2$ 成正比就选正比）；必须明确“增长速度”是指对时间 $t$ 的导数，而非对半径 $R$ 的导数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于高等数学中微积分学的基础应用题——相关变化率问题。
2. 结论推广：对于任意维度的正规几何体，若其体积（或测度）按恒定速度增长，其边界测度的变化率与其线性尺度始终存在反比关系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-06 单-球的体积与表面积
• 2011-辽宁卷文-10 单-球截面棱锥体积
• 2012-新课标卷文-08 单-球的截面与体积