2008-江西卷理-14 填-指数

本题导读

本题考查复合指数不等式与分式不等式的综合求解。核心意图在于利用指数函数的单调性去掉指数底数，将其转化为标准的一元二次分式不等式进行区间求解。

📌【题干】

Question

（2008年江西卷(理)） 不等式 $2^{x-\frac{3}{x}+1}\le \frac{1}{2}$ 的解集为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 将不等式右侧的 $\frac{1}{2}$ 化为以 2 为底的指数幂 $2^{-1}$。
2. 根据底数 $2>1$ 时指数函数单调递增的性质，将原式转化为关于幂次的不等式 $x-\frac{3}{x}+1\le -1$。
3. 移项通分化为分式标准形式，利用穿针引线法求出最终解集，注意自变量分母不为 0 的定义域约束。

✅【答案】

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$(-\infty ,-3]\cup (0,1]$

✍【详细解析】

Abstract

原不等式可变形为： $2^{x-\frac{3}{x}+1}\le 2^{-1}$

因为底数 $2>1$，指数函数在其定义域内单调递增，故等价于： $x-\frac{3}{x}+1\le -1$ 移项整理得： $x+2-\frac{3}{x}\le 0$ 通分化简为分式标准型： $\frac{x^2+2x-3}{x}\le 0$ 对分子进行十字相乘因式分解： $\frac{(x+3)(x-1)}{x}\le 0$

利用区间根轴法（穿针引线法）分析所有零点 $x=-3,x=0,x=1$ 的正负区域：

• 当 $x\ge 1$ 时，各因式均为正，整体为正；
• 当 $0<x<1$ 时，整体为负；
• 当 $-3<x<0$ 时，整体为正；
• 当 $x\le -3$ 时，整体为负。

由于分母 $x\ne 0$，且不等式带有等号，取负值区间得： $x\in (-\infty ,-3]\cup (0,1]$

故原不等式的解集为 $(-\infty ,-3]\cup (0,1]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数型不等式的同底数转化；一元二次分式不等式的有理化求解。
2. 核心方法：区间根轴法。
3. 避坑指南：在通分后应用穿针引线法时，必须强制排除分母为零的临界点（即 $x=0$ 处必须取开区间），很多考生容易因粗心将解集错写成 $(-\infty ,-3]\cup [0,1]$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查初等函数（指数、分式）定义域与基本不等式解法的综合演练题，侧重考查运算的严密性。
2. 结论推广: 对于任意形如 $a^{f(x)}\le a^k$ ($a>1$) 的不等式，其解集完全等价于满足有理式 $f(x)-k\le 0$ 且在其原本定义域内合法的实数交集。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2015-江苏卷-07 填-指数不等式
• 2009-上海卷理-03 填-不等式
• 2009-北京卷理-13 填-指数