2009-北京卷理-13 填-指数

本题导读

本题考查分段函数的概念与不等式、指数不等式的解法，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年北京卷(理)） 若函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x},& x<0\\ {\left(\frac{1}{3}\right)}^x,& x⩾0\end{array}$，则不等式 $|f(x)|⩾\frac{1}{3}$ 的解集为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步：针对自变量分段点，将不等式拆分为 $x<0$ 和 $x⩾0$ 两个独立区间进行讨论。
2. 第二步：在各区间内去掉绝对值符号，分别求解对应的分式不等式与指数不等式，最后取并集得到完整解集。

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$[-3,1]$

✍【详细解析】

Abstract

解：根据分段函数的定义，将不等式 $|f(x)|⩾\frac{1}{3}$ 分为两类情况讨论：

① 当 $x<0$ 时， $f(x)=\frac{1}{x}<0$。 此时 $|f(x)|=-\frac{1}{x}⩾\frac{1}{3}⟹\frac{1}{x}⩽-\frac{1}{3}$。 因为 $x<0$，两边同乘 $3x$ 改变不等号方向得： $3⩾-x⟹x⩾-3$。 结合大前提 $x<0$，此部分的解集为 $[-3,0)$。

② 当 $x⩾0$ 时， $f(x)={\left(\frac{1}{3}\right)}^x>0$。 此时 $|f(x)|={\left(\frac{1}{3}\right)}^x⩾\frac{1}{3}⟹{\left(\frac{1}{3}\right)}^x⩾{\left(\frac{1}{3}\right)}^1$。 根据底数 $\frac{1}{3}<1$ 的指数函数单调递减性质，得： $x⩽1$。 结合大前提 $x⩾0$，此部分的解集为 $[0,1]$。

综合以上两种情况，求并集得整个不等式的解集为 $[-3,0)\cup [0,1]=[-3,1]$。

填空答案：$[-3,1]$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数“分段处理”基本原则；减函数的指数不等式变号规律。
2. 核心方法：分类讨论法。
3. 避坑指南：在第 ① 段求解 $-\frac{1}{x}⩾\frac{1}{3}$ 时，极易忽略 $x$ 为负数这一条件导致解集开闭或方向出错。此外，最终结果应尽量写成闭区间或集合形式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中函数性质与不等式解法章节的基本融合题，考查分类讨论的条理性。
2. 结论推广：解分段函数不等式 $f(x)⩾k$ 的标准程序永远是化归为若干组由“自变量区间约束”与“对应解析式不等式”组成的联立不等式组。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-21 解-指数型函数单调性
• 2011-上海卷理-20 解-指数函数
• 2011-北京卷文-18 解-含参指数函数最值