2008-浙江卷文-10 单-线性规划面积

本题导读

本题由约束区域上的线性函数 $ax+by⩽1$ 恒成立，反推出点 $P(a,b)$ 应满足 $0⩽a,b⩽1$，其区域为边长为 $1$ 的正方形，求面积。

📌【题干】

Question

（2008年浙江卷(文)） 若 $a⩾0$，$b⩾0$，且当 $\{\begin{array}{l}x⩾0,\\ y⩾0,\\ x+y⩽1\end{array}$ 时，恒有 $ax+by⩽1$，则以 $a$，$b$ 为坐标的点 $P(a,b)$ 所形成的平面区域的面积是()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 约束区域是顶点为 $(0,0)$，$(1,0)$，$(0,1)$ 的三角形。
2. 线性函数 $ax+by$（$a,b⩾0$）在该区域的最大值在顶点取得，故恒成立等价于 $a⩽1$ 且 $b⩽1$。
3. 点 $P(a,b)$ 的区域为 $[0,1]\times [0,1]$，求面积。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

变量 $(x,y)$ 的取值区域是三角形，顶点为 $(0,0)$，$(1,0)$，$(0,1)$。 因为 $a,b⩾0$，线性函数 $ax+by$ 在这个三角形上的最大值等于各顶点函数值的最大者。 题设 $ax+by⩽1$ 恒成立，当且仅当在三个顶点处都成立，即 $0⩽1$（自动）、$a⩽1$、$b⩽1$。 事实上，必要性由分别代入 $(x,y)=(1,0)$ 和 $(0,1)$ 得到；充分性由 $0⩽a,b⩽1$ 得 $ax+by⩽x+y⩽1$。 结合 $a⩾0$，$b⩾0$，点 $P(a,b)$ 的区域为正方形 $[0,1]\times [0,1]$，面积为 $1$，故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性约束下的恒成立与区域面积

核心方法：顶点法确定 $a,b$ 的范围

避坑指南：线性函数最值在顶点取得是 $a,b⩾0$ 的关键前提；$P(a,b)$ 的区域是正方形 $[0,1{]}^2$，面积 $1$ 而非 $\frac{1}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 安徽卷文第 3 题、2010 浙江文第 7 题同考线性规划。

结论推广：线性函数在凸多边形顶点取得最值。

方法推广：恒成立类题把”对所有 $(x,y)$ 成立”转成”在顶点成立”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.03 专题-恒成立问题

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-11 填-线性规划最值
• 2009-浙江卷文-13 填-线性规划最值
• 2010-浙江卷文-07 单-线性规划最值
• 2009-安徽卷文-03 单-线性规划区域面积