2009-安徽卷文-03 单-线性规划区域面积

本题导读

考查平面区域面积。可行域是以 $\left(0,\frac{4}{3}\right)$，$(0,4)$，$(1,1)$ 为顶点的三角形，面积 $\frac{4}{3}$，选 C。

📌【题干】

Question

（2009年安徽卷(文)） 不等式组 $\{\begin{array}{l}x⩾0,\\ x+3y⩾4,\\ 3x+y⩽4\end{array}$ 所表示的平面区域的面积等于 ()

A. $\frac{3}{2}$　　　　　　　B. $\frac{2}{3}$　　　　　　　C. $\frac{4}{3}$　　　　　　　D. $\frac{3}{4}$

🔍【思路分析】

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1. 交点：$x+3y=4$ 与 $3x+y=4$ 交于 $(1,1)$；$x=0$ 时两直线分别给出 $y=\frac{4}{3}$ 与 $y=4$。
2. 区域是顶点 $\left(0,\frac{4}{3}\right)$，$(0,4)$，$(1,1)$ 的三角形。
3. 面积 $=\frac{1}{2}\times \left(4-\frac{4}{3}\right)\times 1=\frac{4}{3}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

两直线 $x+3y=4$ 与 $3x+y=4$ 的交点满足 $x=y=1$。当 $x=0$ 时，两直线分别给出 $y=\frac{4}{3}$ 和 $y=4$。 所以所表示区域是顶点为 $\left(0,\frac{4}{3}\right)$，$(0,4)$，$(1,1)$ 的三角形。 其面积为 $\frac{1}{2}\times \left(4-\frac{4}{3}\right)\times 1=\frac{4}{3}$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划的平面区域

核心方法：画三条边界线围出三角形

避坑指南：区域是顶点 $\left(0,\frac{4}{3}\right)$，$(0,4)$，$(1,1)$ 的三角形：$x=0$ 上两直线截出竖边，长 $4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平面区域面积是线性规划的变式考法。

结论推广：边界线两两求交点，顶点依次相连。

方法推广：$x⩾0$ 说明区域在 $y$ 轴右侧，$x=0$ 是区域的一条边而非边界外。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-浙江卷文-13 填-线性规划最值
• 2009-北京卷文-11 填-线性规划最值
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