2013-浙江卷文-16 填-多项式恒成立

本题导读

本题考查不等式恒成立，以及导数与极值。

📌【题干】

Question

（2013年浙江卷(文)） 设 $a$，$b\in \mathbf{R}$，若 $x⩾0$ 时恒有 $0⩽x^4-x^3+ax+b⩽(x^2-1{)}^2$，则 $ab=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 取 $x=1$：$0⩽1-1+a+b⩽0$ → $a+b=0$，$b=-a$。
2. 记 $f(x)=x^4-x^3+ax+b$，$h(x)=(x^2-1{)}^2-f(x)=x^3-2x^2-ax+1-b$；$h⩾0$（$x⩾0$）且 $h(1)=0$ → $x=1$ 是极小值点 → $h^{\prime }(1)=3-4-a=0$ → $a=-1$，$b=1$。
3. 验证：$f=(x-1{)}^2(x^2+x+1)⩾0$，$h=x(x-1{)}^2⩾0$ ✓。$ab=-1$。

✅【答案】

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$-1$

✍【详细解析】

Abstract

将 $x=1$ 代入 $0⩽x^4-x^3+ax+b⩽(x^2-1{)}^2$： $0⩽1-1+a+b⩽0⟹a+b=0,\text{即}b=-a.$ 记 $f(x)=x^4-x^3+ax-a$，令 $h(x)=(x^2-1{)}^2-f(x)=x^4-2x^2+1-x^4+x^3-ax+a=x^3-2x^2-ax+a+1.$ 由条件，$x⩾0$ 时 $h(x)⩾0$，而 $h(1)=1-2-a+a+1=0$，故 $x=1$ 是 $h$ 的极小值点，于是 $h^{\prime }(1)=3-4-a=0⟹a=-1,b=1.$ 验证：$f(x)=x^4-x^3-x+1=(x-1{)}^2(x^2+x+1)⩾0$；$h(x)=x^3-2x^2+x=x(x-1{)}^2⩾0$（$x⩾0$），条件满足。 故 $ab=(-1)\times 1=-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双端恒成立（多项式夹逼）

核心方法：$x=1$ 代入中间式：$0⩽a+b⩽0$ → $a+b=0$；令 $h=(x^2-1{)}^2-(x^4-x^3+ax+b)⩾0$ 且 $h(1)=0$ → $h^{\prime }(1)=0$ → $a=-1$，$b=1$ → $ab=-1$

避坑指南：”$0⩽f⩽g$ 且 $f$、$g$ 在某点同值”意味着该点是 $f$ 与 $g$ 的公共极值点——本题连续两次用”取等即极值”：$x=1$ 处 $f=g=0$ 先锁定 $a+b=0$，再由 $h(1)=0$ 且 $h⩾0$ 得 $h^{\prime }(1)=0$；只代入一次就动笔解会卡死。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：恒成立问题（两端夹逼 + 极值点必要条件），浙江卷压轴填空。

结论推广：$x=1$：$0⩽f(1)⩽0$ → $f(1)=a+b=0$；$h(x)=(x^2-1{)}^2-f(x)⩾0$（$x⩾0$）且 $h(1)=0$ → $x=1$ 为极小值点 → $h^{\prime }(1)=0$。

方法推广：双端不等式夹逼：先把”公共取等点”的特殊值代进去锁定等式，再对”上减下”的差函数用”最小值为 0 → 导数为 0”定参，最后代回验证。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.03 专题-恒成立问题
• 20.19 恒成立问题——转化为最值法

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-11 单-函数单调性
• 2014-辽宁卷文-12 单-不等式恒成立
• 2013-大纲卷文-21 解-导数单调性与恒成立