2008-浙江卷理-07 单-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与几何性质、离心率的求解。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年浙江卷(理)） 若双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的两个焦点到一条准线的距离之比为 $3:2$，则双曲线的离心率是 ()

A. 3　　　　　　　B. 5　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　D. $\sqrt{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出双曲线的焦点坐标与其中一条准线方程（不妨选取右准线）。
2. 表示出两个焦点到该准线的距离，根据距离之比为 $3:2$ 建立关于 $a,c$ 的方程。
3. 同除以 $a$ 或利用 $e=\frac{c}{a}$ 转化为关于离心率 $e$ 的方程求解。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1(-c,0)$， $F_2(c,0)$。 不妨选择其右准线，方程为 $x=\frac{a^2}{c}$。 左焦点 $F_1$ 到右准线的距离为： $d_1=c+\frac{a^2}{c}$； 右焦点 $F_2$ 到右准线的距离为： $d_2=c-\frac{a^2}{c}$。 因为 $d_1>d_2$，所以两距离之比为： $\frac{c+\frac{a^2}{c}}{c-\frac{a^2}{c}}=\frac{3}{2}$ 两边去分母交叉相乘得： $2\left(c+\frac{a^2}{c}\right)=3\left(c-\frac{a^2}{c}\right)⟹2c+\frac{2a^2}{c}=3c-\frac{3a^2}{c}⟹c=\frac{5a^2}{c}$ 变形得 $c^2=5a^2$，即 $\frac{c^2}{a^2}=5$。 因为离心率 $e=\frac{c}{a}>1$，所以 $e=\sqrt{5}$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线的准线方程 $x=\pm \frac{a^2}{c}$；离心率的定义式 $e=\frac{c}{a}$。
2. 核心方法：公式法与比例消元法。
3. 避坑指南：双曲线的准线方程是 $x=\pm \frac{a^2}{c}$，极易与椭圆混淆或记错分子分母；注意在双曲线中 $c>a$，因而 $c-\frac{a^2}{c}>0$ 恒成立，无需加绝对值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于教材中双曲线第二定义和基本几何性质章节的基础演练，旨在强化对双曲线特征参数 $a,b,c$ 及其内在关联的掌握。
2. 结论推广：若双曲线两个焦点到同侧准线的距离之比为 $\lambda :1(\lambda >1)$，则其离心率 $e=\sqrt{\frac{\lambda +1}{\lambda -1}}$。本题中 $\lambda =\frac{3}{2}$，代入可得 $e=\sqrt{\frac{5/2}{1/2}}=\sqrt{5}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-22 解-双曲线平行线距离
• 2009-上海卷理-21 解-双曲线
• 2009-北京卷文-19 解-双曲线准线与中点