2008-浙江卷理-14 填-立体几何

本题导读

本题考查空间中直线与直线的垂直判定、多面体外接球的性质与体积，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2008年浙江卷(理)） 如图，已知球 $O$ 的面上四点 $A、B、C、D$，$DA\perp$ 平面 $ABC$，$AB\perp BC$，$DA=AB=BC=\sqrt{3}$，则球 $O$ 点体积等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 分析线面垂直关系：由 $DA\perp$ 平面 $ABC$ 可知 $DA\perp AB$ 且 $DA\perp BC$。
2. 结合 $AB\perp BC$，可得出棱 $DA,AB,BC$ 两两垂直，这满足长方体共顶点三条棱的几何特征。
3. 补形法：将该三棱锥补充为长方体，长方体的体对角线即为外接球的直径 $2R$。
4. 利用勾股定理求出直径与半径，再代入球的体积公式 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$。

✅【答案】

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$\frac{9}{2}\pi$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $DA\perp$ 平面 $ABC$，且 $AB,BC\subset$ 平面 $ABC$， 所以 $DA\perp AB$， $DA\perp BC$。 又已知 $AB\perp BC$， 所以直线 $DA,AB,BC$ 两两互相垂直。 以 $DA,AB,BC$ 为长、宽、高可以构造一个长方体，该三棱锥 $D-ABC$ 是该长方体的一部分。 根据空间几何体性质，三棱锥的外接球等价于该长方体的外接球。 长方体的体对角线长等于外接球的直径 $2R$。 由空间勾股定理可得： $(2R{)}^2=D{A}^2+A{B}^2+B{C}^2$ 将 $DA=AB=BC=\sqrt{3}$ 代入上式： $4R^2=(\sqrt{3}{)}^2+(\sqrt{3}{)}^2+(\sqrt{3}{)}^2=3+3+3=9$ 解得 $R^2=\frac{9}{4}⟹R=\frac{3}{2}$。 将半径代入球的体积公式： $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \times {\left(\frac{3}{2}\right)}^3=\frac{4}{3}\pi \times \frac{27}{8}=\frac{9}{2}\pi$

故答案为：$\frac{9}{2}\pi$。#### 💡【考点归纳与避坑指南】 [!danger]

1. 核心考点：线面垂直性质定理；外接球“长方体补形法”模型；球的体积公式。
2. 核心方法：模型化归补形法（将不规则锥体还原为对称的柱体或长方体）。
3. 避坑指南：计算球体积时公式容易记错（误写为 $\frac{4}{3}\pi R^2$ 或 $4\pi R^2$），必须分清体积公式与表面积公式的幂次区别。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自立体几何中有关“墙角模型”（三条棱两两垂直）外接球的经典教材延展模型。
2. 结论推广：若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度分别为 $x,y,z$，则其外接球的半径 $R$ 恒满足 $R=\frac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2+z^2}$。

🔗【关联脉络】

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$9\pi 2$

类题演练 (Links)

• 2010-大纲卷I文-12 单-球内四面体体积
• 2010-湖北卷文-14 填-圆柱内切球体积
• 2011-辽宁卷文-10 单-球截面棱锥体积