2011-辽宁卷文-10 单-球截面棱锥体积

本题导读

本题考查球的性质，以及直径所对的圆周角。

📌【题干】

Question

（2011年辽宁卷(文)） 已知球的直径 $SC=4$，$A$，$B$ 是该球球面上的两点，$AB=2$，$\angle ASC=\angle BSC=45^{\circ }$，则棱锥 $S-ABC$ 的体积为 ()

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　B. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$　　　　　　C. $\frac{4\sqrt{3}}{3}$　　　　　　D. $\frac{5\sqrt{3}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：以 $S$ 为原点、$SC$ 为 $z$ 轴建系
2. 步骤2：由 $\angle ASC=\angle BSC=45^{\circ }$ 写出 $A$
3. 步骤3：$B$ 的坐标
4. 步骤4：行列式求体积

✅【答案】

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C$\frac{4\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $S$ 为原点、$SC$ 在 $z$ 轴正半轴上，则 $C=(0,0,4)$，球心 $O=(0,0,2)$，半径 $2$。

$SC$ 是直径，故 $\angle SAC=\angle SBC=90^{\circ }$。在 $\mathrm{Rt}△SAC$ 中 $\angle ASC=45^{\circ }$，故 $|SA|=|SC|\cos 45^{\circ }=2\sqrt{2}$，$A$ 的竖坐标为 $|SA|\cos 45^{\circ }=2$，且 $|OA|=2$。

即 $A$，$B$ 都在过球心 $O$ 且垂直于 $SC$ 的截面圆（赤道圆，半径 $2$）上，可设 $A=(2\cos \alpha ,2\sin \alpha ,2)$，$B=(2\cos \beta ,2\sin \beta ,2)$。

$AB=2$ 给出圆心角 $|\alpha -\beta |=60^{\circ }$。

$V=\frac{1}{6}\left|\det (A,B,C)\right|=\frac{1}{6}\left|4\sin (\beta -\alpha )\times 4\right|=\frac{16}{6}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直径所对圆周角为直角；球的截面圆；空间坐标求棱锥体积

核心方法：“直径 + 圆周角 $45^{\circ }$“推出 $A$，$B$ 落在赤道截面圆上，再用弦长定圆心角，行列式（或等体积法）收尾

避坑指南：$A$，$B$ 的竖坐标是 $|SA|\cos 45^{\circ }=2$，恰好等于球心高度——这一步是全题枢纽，若以为 $A$，$B$ 在某小圆上会走弯路；行列式中 $C=(0,0,4)$ 只贡献 $z$ 分量，体积公式系数是 $\frac{1}{6}$ 不是 $\frac{1}{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：球与棱锥综合题与 2011-大纲卷文-12、2012-新课标卷文-08、2011-重庆卷文-10 同族。

结论推广：推广：球面上两点对直径端点张等角时，两点落在与直径垂直的截面圆上；截面圆半径 $r=\sqrt{R^2-d^2}$（$d$ 为截面到球心距离），本题 $d=0$ 即大圆。

方法推广：球内接多面体体积题：优先建系（直径当坐标轴），用”$45^{\circ }$ 圆周角 $\to$ 竖坐标”定关键点，行列式或换底求体积。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-12 单-球的截面
• 2012-新课标卷文-08 单-球的截面与体积
• 2011-重庆卷文-10 单-四棱锥外接球