2008-湖北卷文-12 填-余弦定理定等腰角

本题导读

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=3+9-9=3$，$c=\sqrt{3}=a$，故 $A=C=30^{\circ }$.

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(文)） 在 $△ABC$ 中，$a$，$b$，$c$ 分别是角 $A$，$B$，$C$ 所对的边，已知 $a=\sqrt{3}$，$b=3$，$C=30^{\circ }$，则 $A=$　　　.

🔍【思路分析】

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已知两边及夹角，先用余弦定理求第三边，再由边等定角等.

✅【答案】

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$30^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

【裁定】原卷印"$c=30^{\circ }$"，与”$c$ 是边”的记号矛盾，按答案节为"$C=30^{\circ }$"（角）录入. 由余弦定理 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=3+9-2\times \sqrt{3}\times 3\times \frac{\sqrt{3}}{2}=12-9=3$，故 $c=\sqrt{3}$. 于是 $c=a=\sqrt{3}$，$△ABC$ 是以 $B$ 为顶角的等腰三角形，故 $A=C=30^{\circ }$. （检验：$A+B+C=30^{\circ }+120^{\circ }+30^{\circ }=180^{\circ }$，其中 $B=180^{\circ }-2\times 30^{\circ }=120^{\circ }$，合理.）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦定理与等腰三角形

核心方法：两边夹角求第三边，边等则对角等

避坑指南：【裁定】原卷"$c=30^{\circ }$"按角 $C$ 录入；用余弦定理先求 $c$，再由 $c=a$ 得 $A=C$，别急着用正弦定理解角（会产生两解讨论）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形中”边角关系互化”的基础题

结论推广：两边夹角用余弦定理；求出第三边后注意边的相等关系定角

方法推广：已知两边及夹角时，余弦定理求第三边是首选；发现等腰后直接用等边对等角，避免正弦定理的多解讨论

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

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• 2009-湖北卷文-16 解-正余弦定理解三角形
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