2008-湖北卷文-15 填-圆参数方程与对称

本题导读

圆心 $(3,-2)$、半径 $4$；关于 $x-y=0$ 对称，圆心变为 $(-2,3)$，$C^{\prime }$ 为 $(x+2{)}^2+(y-3{)}^2=16$.

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(文)） 圆 $C:\{\begin{array}{l}x=3+4\cos \theta ,\\ y=-2+4\sin \theta \end{array}$（$\theta$ 为参数）的圆心坐标为　　　，和圆 $C$ 关于直线 $x-y=0$ 对称的圆 $C^{\prime }$ 的普通方程是　　　.

🔍【思路分析】

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参数方程对照 $\{\begin{array}{l}x=a+r\cos \theta \\ y=b+r\sin \theta \end{array}$ 直接读圆心与半径；点 $(a,b)$ 关于直线 $y=x$ 的对称点是 $(b,a)$.

✅【答案】

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$(3,-2)$；$(x+2{)}^2+(y-3{)}^2=16$

✍【详细解析】

Abstract

由参数方程得圆心 $C(3,-2)$，半径 $r=4$. 关于直线 $x-y=0$（即 $y=x$）对称，圆心对称点为 $(-2,3)$，半径不变. 故圆 $C^{\prime }$ 的普通方程为 $(x+2{)}^2+(y-3{)}^2=16$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的参数方程与对称

核心方法：消参或对照标准式读圆心半径，关于 $y=x$ 对称即坐标互换

避坑指南：对称后的方程是新圆心的标准方程，半径不变仍为 $16$；圆心 $(3,-2)$ 对称到 $(-2,3)$，符号别丢

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：参数方程与解析几何对称问题的交汇

结论推广：参数方程 $\{\begin{array}{l}x=a+r\cos \theta \\ y=b+r\sin \theta \end{array}$ 直接读 $(a,b)$ 与 $r$；关于 $y=x$ 对称坐标互换

方法推广：参数方程不必急着消参，先读几何要素；点关于特殊直线（坐标轴、$y=\pm x$）的对称结论要熟

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 16.05 对称性问题

类题演练 (Links)

• 2009-湖北卷文-14 填-圆的切点弦
• 2011-湖北卷文-14 填-直线与圆弦长
• 2015-湖北卷文-16 填-圆与切线
• 2010-湖北卷理-15