2009-湖北卷文-14 填-圆的切点弦

本题导读

考查圆的切点弦。圆心 $(3,4)$、半径 $\sqrt{5}$，$|OP|=2\sqrt{5}$，弦心距 $|OM|=\frac{|OP{|}^2}{|OC|}=4$，$PQ=2\sqrt{5-1}=4$。

📌【题干】

Question

（2009年湖北卷(文)） 过原点 $O$ 作圆 $x^2+y^2-6x-8y+20=0$ 的两条切线，设切点分别为 $P$、$Q$，则线段 $PQ$ 的长为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 配方：$(x-3{)}^2+(y-4{)}^2=5$，圆心 $C(3,4)$，半径 $r=\sqrt{5}$，$|OC|=5$。
2. 切线长 $|OP|=\sqrt{|OC{|}^2-r^2}=\sqrt{25-5}=2\sqrt{5}$。
3. 设 $OC$ 交 $PQ$ 于 $M$，由 $OP\perp CP$，$PM\perp OC$，得 $|OM|\cdot |OC|=|OP{|}^2=20$，$|OM|=4$。
4. $|CM|=|OC|-|OM|=1$，$|PM|=\sqrt{r^2-|CM{|}^2}=\sqrt{5-1}=2$，$PQ=2|PM|=4$。

✅【答案】

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$4$

✍【详细解析】

Abstract

圆方程配方得 $(x-3{)}^2+(y-4{)}^2=5$，圆心 $C(3,4)$，半径 $r=\sqrt{5}$，$|OC|=\sqrt{3^2+4^2}=5$。 切线长 $|OP|=\sqrt{|OC{|}^2-r^2}=\sqrt{25-5}=2\sqrt{5}$。 设 $OC$ 与 $PQ$ 交于 $M$。在 $\mathrm{Rt}△OCP$ 中 $PM\perp OC$，由射影定理 $|OM|\cdot |OC|=|OP{|}^2$， 得 $|OM|=\frac{20}{5}=4$，$|CM|=5-4=1$。 $|PM|=\sqrt{r^2-|CM{|}^2}=\sqrt{5-1}=2$，由对称性 $PQ=2|PM|=4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的切点弦

核心方法：切线长 $\sqrt{d^2-r^2}$ + 射影定理 + 弦心距

避坑指南：$|OC|=5$，$r=\sqrt{5}$，$|OP|=2\sqrt{5}$；$|OM|=\frac{|OP{|}^2}{|OC|}=4$，$|CM|=1$，$|PM|=2$，$PQ=4$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：从圆外一点引两切线，切点弦垂直于该点与圆心的连线，图形自动对称。

结论推广：$\mathrm{Rt}△OCP$ 中斜边上的高把线段分成 $|OM|\cdot |MC|=|PM{|}^2$，是核心等式。

方法推广：切点弦长通用式：$PQ=\frac{2r\sqrt{d^2-r^2}}{d}$，代入 $r=\sqrt{5}$，$d=5$ 得 $4$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-15 填-圆的切线围三角形
• 2009-山东卷文-10 单-抛物线焦点
• 2009-上海卷文-08 填-旋转体圆锥体积
• 2009-大纲卷I文-22 解-抛物线与圆最值