2008-湖北卷理-03 单-立体几何

本题导读

本题考查立体几何中球的截面几何性质。通过球心距和截面圆面积，求出球的真实半径，最终通过体积公式求解。

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(理)） 用与球心距离为 1 的平面去截球，所得的截面面积为 $\pi$，则球的体积为 ()

A. $\frac{8\pi }{3}$　　　　　　B. $\frac{8\sqrt{2}\pi }{3}$　　　　　　C. $8\sqrt{2}\pi$　　　　　　D. $\frac{32\pi }{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设球的半径为 $R$，截面圆的半径为 $r$。利用截面面积公式 $S=\pi r^2=\pi$ 求出截面圆半径 $r$。
2. 结合球心距 $d=1$，利用直角三角形勾股定理 $R^2=r^2+d^2$ 算得球半径 $R$。
3. 代入球的体积公式 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$ 得到答案。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

设球的半径为 $R$，平面截球所得截面圆的半径为 $r$。 因为截面面积为 $\pi$， 所以 $\pi r^2=\pi ⟹r=1$。

已知球心到截面的距离 $d=1$， 由球的性质（球心、截面圆心、截面圆周上任意一点构成直角三角形）可得： $R^2=r^2+d^2=1^2+1^2=2⟹R=\sqrt{2}$

代入球的体积公式： $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi (\sqrt{2}{)}^3=\frac{8\sqrt{2}\pi }{3}$

正确答案为：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：截面圆半径 $r$、球心距 $d$ 与球半径 $R$ 构成的基本核心性质：$R^2=r^2+d^2$。
2. 核心方法：空间几何元素的勾股转化。
3. 避坑指南：计算 $(\sqrt{2}{)}^3$ 时要细心，$(\sqrt{2}{)}^3=2\sqrt{2}$，不要误算成 $2$ 或 $4\sqrt{2}$；同时要准确记忆球体积公式系数为 $\frac{4}{3}$，不可记错为 $\frac{1}{3}$ 或面积公式的 $4\pi R^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是立体几何中关于“球”的性质常考的代表性小题，属于大纲中的基础必考题。
2. 结论推广: 空间内若一平面截半径为 $R$ 的球，截面圆面积 $S_{\text{截}}$ 与球心距 $d$ 满足通用关系式：$S_{\text{截}}=\pi (R^2-d^2)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

类题演练 (Links)

• 2010-大纲卷I文-12 单-球内四面体体积
• 2010-湖北卷文-14 填-圆柱内切球体积
• 2011-辽宁卷文-10 单-球截面棱锥体积