2008-湖北卷理-09 单-圆

本题导读

本题考查圆的几何性质及弦长的综合计算。核心在于通过确定已知点在圆内的特殊位置，找出过该点弦长的最大值与最小值，进而计数出所有满足整数条件的弦的条数。

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(理)） 过点 $A(11,2)$ 作圆 $x^2+y^2+2x-4y-164=0$ 的弦，其中弦长为整数的共有 ()

A. 16 条　　　　　B. 17 条　　　　　C. 32 条　　　　　D. 34 条

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将圆的一般方程配方化为标准方程，求出圆心 $C$ 的坐标和半径 $R$。
2. 计算圆心 $C$ 到点 $A$ 的距离 $d$，判定点 $A$ 与圆的位置关系，并求出过点 $A$ 的弦长范围 $[L_{\min },L_{\max }]$。
3. 在此数值范围内筛选出所有整数值，结合对称性（除了最值外，每一种长度均对应两条对称的弦）进行统计计数。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

将圆的方程 $x^2+y^2+2x-4y-164=0$ 配方变形得： $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=164+1+4=169=13^2$ 由此得圆心坐标为 $C(-1,2)$，半径 $R=13$。

计算圆心 $C$ 到点 $A(11,2)$ 的距离： $|CA|=\sqrt{(11-(-1){)}^2+(2-2{)}^2}=\sqrt{12^2+0}=12$ 因为 $|CA|=12<13$，所以点 $A$ 在圆的内部。

根据圆的几何性质，过圆内一点 $A$：

• 最大弦长 $L_{\max }$ 为过点 $A$ 的直径，其长度为 $2R=2\times 13=26$；
• 最小弦长 $L_{\min }$ 为过点 $A$ 且与 $CA$ 垂直的弦，由勾股定理得其长度为 $2\sqrt{R^2-|CA{|}^2}=2\sqrt{13^2-12^2}=2\times 5=10$。

因此，过点 $A$ 的弦长 $L$ 的取值范围是 $[10,26]$。

统计弦长为整数的条数：

• 当 $L=10$ 时，满足条件的弦有且仅有 $1$ 条（即垂直于 $CA$ 的弦）；
• 当 $L=26$ 时，满足条件的弦有且仅有 $1$ 条（即过点 $A$ 的直径）；
• 当 $L\in \{11,12,13,\dots ,25\}$ 时，由于圆的轴对称性，关于直径两侧对称各有一条，故每个整数长度对应 $2$ 条弦。 从 $11$ 到 $25$ 共有 $25-11+1=15$ 个整数。

所以满足条件的弦的总条数为： $\text{总数}=1+1+15\times 2=32\text{ 条}$

正确答案为：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆内最长弦与最短弦的几何特征；圆内弦长的连续性与对称性。
2. 核心方法：数形结合下的边界区间极值分析法。
3. 避坑指南：极易在计数时产生漏算或多算。漏掉对称性导致只算出 $1+1+15=17$ 条（误选 B）；或直接用 $(26-10+1)\times 2=34$ 从而把仅有1条的端点值也乘以了2（误选 D）。必须分清最值端点和中间区间的不同物理分布。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 针对平面解析几何中“直线与圆相交”弦长考点的经典创新变形，将代数方程问题转化成了富有几何直观的离散计数题。
2. 结论推广: 若点 $A$ 在半径为 $R$ 的圆内，且圆心到点 $A$ 的距离为 $d$，则过点 $A$ 且长度为整数的弦的条数为 $2\times (\lfloor 2R\rfloor -\lceil 2\sqrt{R^2-d^2}\rceil +1)-{\delta }_1-{\delta }_2$（其中 $\delta$ 用于修正端点处无法双向对称的情况）。

🔗【关联脉络】

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C

类题演练 (Links)

• 2009-辽宁卷理-04 单-圆的标准方程
• 2010-新课标卷理-15 填-圆的标准方程
• 2010-山东卷理-16 填-圆的标准方程