2009-四川卷文-19 解-面面垂直二面角

本题导读

考查空间垂直与二面角。（1）$EF\perp EB$ 且 $EF\perp BC$，故 $EF\perp$ 平面 $BCE$；（2）取 $BE$ 中点 $N$，$MN\parallel CP$ 且相等，$PM\parallel CN\subset$ 平面 $BCE$；（3）建系得二面角为 $\arctan \frac{\sqrt{2}}{3}$。

📌【题干】

Question

（2009年四川卷(文)） 如图，正方形 $ABCD$ 所在平面与平面四边形 $ABEF$ 所在平面互相垂直，$△ABE$ 是等腰直角三角形，$AB=AE$，$FA=FE$，$\angle AEF=45^{\circ }$.

(1)求证：$EF\perp$ 平面 $BCE$；

(2)设线段 $CD$、$AE$ 的中点分别为 $P$、$M$，求证：$PM\parallel$ 平面 $BCE$；

(3)求二面角 $F-BD-A$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1.（1）等腰直角 $△ABE$：$\angle AEB=45^{\circ }$；$\angle AEF=45^{\circ }$，故 $\angle FEB=90^{\circ }$，$EF\perp EB$。 2. 正方形中 $BC\perp AB$，两面垂直得 $BC\perp$ 平面 $ABEF$，故 $BC\perp EF$。 3. $EF\perp EB$ 且 $EF\perp BC$，$EB\cap BC=B$，故 $EF\perp$ 平面 $BCE$。 4.（2）取 $BE$ 中点 $N$：$MN\parallel AB$ 且 $MN=\frac{1}{2}AB$；$CP\parallel AB$ 且 $CP=\frac{1}{2}AB$。 故 $MN\parallel CP$ 且 $MN=CP$，$MNPC$ 为平行四边形，$PM\parallel CN\subset$ 平面 $BCE$。 5.（3）设 $AB=2$，建系：$A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),E(0,0,2),F(-1,0,1)$（$F$ 与 $B$ 在 $AE$ 异侧）。 6. 平面 $FBD$ 法向量 $(1,1,3)$，平面 $ABD$ 法向量 $(0,0,1)$，$\cos \theta =\frac{3}{\sqrt{11}}$，$\tan \theta =\frac{\sqrt{2}}{3}$。

✅【答案】

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(1) (2)证明见解析；(3)二面角 $F-BD-A$ 的大小为 $\arctan \frac{\sqrt{2}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）因为 $△ABE$ 是等腰直角三角形，$AB=AE$，所以 $\angle AEB=45^{\circ }$。 又 $\angle AEF=45^{\circ }$，故 $\angle FEB=\angle AEB+\angle AEF=90^{\circ }$，即 $EF\perp EB$。 因为正方形 $ABCD$ 中 $BC\perp AB$，平面 $ABCD\perp$ 平面 $ABEF$，交线为 $AB$， 所以 $BC\perp$ 平面 $ABEF$，从而 $BC\perp EF$。 又 $EB\cap BC=B$，$EB,BC\subset$ 平面 $BCE$，所以 $EF\perp$ 平面 $BCE$。 （2）取 $BE$ 的中点 $N$，连接 $MN,CN$。 在 $△ABE$ 中，$M,N$ 分别为 $AE,BE$ 的中点，故 $MN\parallel AB$ 且 $MN=\frac{1}{2}AB$。 正方形中 $P$ 为 $CD$ 中点，$CP\parallel AB$ 且 $CP=\frac{1}{2}AB$。 所以 $MN\parallel CP$ 且 $MN=CP$，四边形 $MNPC$ 为平行四边形，$PM\parallel CN$。 又 $CN\subset$ 平面 $BCE$，$PM\not\subset$ 平面 $BCE$，所以 $PM\parallel$ 平面 $BCE$。 （3）设 $AB=2$。以 $A$ 为原点建立空间直角坐标系，使平面 $ABCD$ 为 $xOy$ 平面，平面 $ABEF$ 为 $xOz$ 平面，则 $A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),E(0,0,2).$ 由 $FA=FE$，$\angle AEF=45^{\circ }$，且 $F$ 与 $B$ 位于 $AE$ 异侧，得 $F(-1,0,1)$。 $\overrightarrow{BD}=(-2,2,0)$，$\overrightarrow{BF}=(-3,0,1)$，平面 $FBD$ 的法向量 $\mathbf{n}=\overrightarrow{BD}\times \overrightarrow{BF}=(2,2,6)\parallel (1,1,3).$ 平面 $ABD$ 的法向量为 $(0,0,1)$。设二面角 $F-BD-A$ 的大小为 $\theta$，则 $\cos \theta =\frac{3}{\sqrt{11}},\sin \theta =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}},\tan \theta =\frac{\sqrt{2}}{3}.$ 故二面角 $F-BD-A$ 的大小为 $\arctan \frac{\sqrt{2}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：面面垂直性质与二面角

核心方法：交线 $AB$ 上作垂：$BC\perp$ 平面 $ABEF$；二面角建系用双法向量

避坑指南：（1）$\angle FEB=45^{\circ }+45^{\circ }=90^{\circ }$ 依赖 $F,B$ 在 $AE$ 异侧（图示），（3）建系取 $F(-1,0,1)$ 与此一致。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：两面垂直时，一个面内垂直于交线的直线垂直于另一个面。

结论推广：线面平行证法：中位线造平行四边形，把 $PM$ 转到面内的 $CN$。

方法推广：二面角 $\cos \theta =\frac{3}{\sqrt{11}}$，$\tan \theta =\frac{\sqrt{2}}{3}$，答 $\arctan \frac{\sqrt{2}}{3}$ 即可。

🔗【关联脉络】

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