2008-湖南卷文-17 解-三角化简给值求值

本题导读

$f(x)=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$，$T=2\pi$；$\sin 2x_0=\frac{7}{25}$，$\cos x_0-\sin x_0=\frac{3\sqrt{2}}{5}$，$f\left(x_0+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{4\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{10}$.

📌【题干】

Question

（2008年湖南卷(文)） 已知函数 $f(x)={\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2}+\sin x$.

(1)求函数 $f(x)$ 的最小正周期；

(2)当 $x_0\in \left(0,\frac{\pi }{4}\right)$ 且 $f(x_0)=\frac{4\sqrt{2}}{5}$ 时，求 $f\left(x_0+\frac{\pi }{6}\right)$ 的值.

🔍【思路分析】

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(1)${\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2}=\cos x$ 直接降次；(2)平方得 $\sin 2x_0$，开方取正得差，再整体代入展开式.

✅【答案】

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(1)$T=2\pi$；(2)$\frac{4\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)由 ${\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2}=\cos x$，得 $f(x)=\cos x+\sin x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$，所以 $f(x)$ 的最小正周期为 $2\pi$. (2)由已知条件，$\cos x_0+\sin x_0=\frac{4\sqrt{2}}{5}$. 于是 $\sin 2x_0=(\cos x_0+\sin x_0{)}^2-1=\frac{32}{25}-1=\frac{7}{25}$. 因为 $0<x_0<\frac{\pi }{4}$，所以 $0<2x_0<\frac{\pi }{2}$，$\cos 2x_0=\frac{24}{25}$，从而 $\cos x_0-\sin x_0>0$. 又 $(\cos x_0-\sin x_0{)}^2=1-\sin 2x_0=\frac{18}{25}$，故 $\cos x_0-\sin x_0=\frac{3\sqrt{2}}{5}$. 因此 $\cos x_0=\frac{7\sqrt{2}}{10}$，$\sin x_0=\frac{\sqrt{2}}{10}$，所以 $f\left(x_0+\frac{\pi }{6}\right)=\cos \left(x_0+\frac{\pi }{6}\right)+\sin \left(x_0+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}(\cos x_0+\sin x_0)+\frac{1}{2}(\cos x_0-\sin x_0)=\frac{4\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{10}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等变换与给值求值

核心方法：降幂化一后，由”和”的值平方出”积”，再由角的范围定”差”的符号

避坑指南：$x_0\in \left(0,\frac{\pi }{4}\right)$ 保证 $\cos x_0>\sin x_0>0$，“差”取正号是关键一步；最后展开 $f\left(x_0+\frac{\pi }{6}\right)$ 按和差公式分组代入

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角恒等变换”化简 + 给值求值”的标准二段式

结论推广：化简为 $A\sin (\omega x+\phi )$ 型；给值求值走”平方得倍角、开方定符号、展开代和差”三步

方法推广：给值求值中”角的范围定符号”是易错点；$2x_0\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 使 $\cos 2x_0>0$ 与 $\cos x_0-\sin x_0>0$ 联动

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2010-湖南卷文-16 解-三角恒等变换最值
• 2013-湖南卷文-16 解-三角恒等变换
• 2011-湖南卷文-17 解-正弦定理与三角最值
• 2012-湖南卷文-18 解-三角函数图象与单调区间