2008-湖南卷文-21 解-四次函数三极值点

本题导读

$g(-3)=c+27$，$g(1)=c-5$，三极值点 $⟺-27<c<5$；$[a,a+2]\subset (-\infty ,3)$ 且不含 $-3⟺a<-5$ 或 $-3<a<1$.

📌【题干】

Question

（2008年湖南卷(文)） 已知函数 $f(x)=\frac{1}{4}{x}^4+x^3-\frac{9}{2}{x}^2+cx$ 有三个极值点.

(1)证明：$-27<c<5$；

(2)若存在实数 $c$，使函数 $f(x)$ 在区间 $[a,a+2]$ 上单调递减，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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(1)$g^{\prime }(x)=3(x+3)(x-1)$ 定 $g$ 的峰谷，三次函数三根的充要条件是峰正谷负；(2)$f$ 在 $[a,a+2]$ 递减 $⟺g(x)⩽0$ 在区间内恒成立，用 $h(x)<27$ 的等价条件收缩区间再取 $c$.

✅【答案】

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(1)证明见解析；(2)$a$ 的取值范围为 $(-\infty ,-5)\cup (-3,1)$

✍【详细解析】

Abstract

记 $g(x)=f^{\prime }(x)=x^3+3x^2-9x+c$，则 $g^{\prime }(x)=3(x+3)(x-1)$. 因此 $g(x)$ 在 $(-\infty ,-3)$ 和 $(1,+\infty )$ 上递增，在 $(-3,1)$ 上递减，$x=-3$ 是极大值点，$x=1$ 是极小值点. (1)因为 $g(x)$ 是首项系数为正的三次函数，要有三个互不相同的实根，充要条件是极大值大于 $0$ 且极小值小于 $0$. 计算得 $g(-3)=c+27$，$g(1)=c-5$. 所以 $c+27>0$，$c-5<0$，即 $-27<c<5$. (2)由第(1)问，所取的 $c$ 必须满足 $-27<c<5$. 令 $h(x)=x^3+3x^2-9x$，则 $g(x)=h(x)+c$. 因为 $h(x)-27=x^3+3x^2-9x-27=(x-3)(x+3{)}^2$，所以 $h(x)<27$ 当且仅当 $x<3$ 且 $x\ne -3$. 若 $f(x)$ 在 $[a,a+2]$ 上单调递减，则区间内应有 $g(x)⩽0$. 由于 $c>-27$，有 $g(-3)=c+27>0$，并且当 $x⩾3$ 时 $h(x)⩾27$，从而 $g(x)>0$. 因此区间 $[a,a+2]$ 既不能包含 $-3$，又必须满足 $a+2<3$. 这给出 $a<-5$ 或 $-3<a<1$. 反之，若 $a<-5$ 或 $-3<a<1$，则 $[a,a+2]\subset (-\infty ,3)$ 且不含 $-3$，从而在该区间上 $h(x)<27$. 令 $M=\underset{x\in [a,a+2]}{\max }h(x)$，则 $M<27$，所以可以取 $-27<c<\min \{5,-M\}$. 此时 $c$ 满足第(1)问的条件，且对区间内任意 $x$ 有 $f^{\prime }(x)=h(x)+c⩽M+c<0$，故 $f(x)$ 在 $[a,a+2]$ 上单调递减. 综上，$a$ 的取值范围为 $(-\infty ,-5)\cup (-3,1)$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次导函数的零点与单调区间存在性

核心方法：三次函数三个不同实根 $⟺$ 极大值 $>0$ 且极小值 $<0$；单调递减区间用 $g(x)⩽0$ 恒成立收缩

避坑指南：$h(x)<27⟺x<3$ 且 $x\ne -3$：$x=-3$ 处 $h(-3)=27$ 恰好取等，区间不能含 $-3$；充分性要说明 $c$ 的存在范围 $-27<c<\min \{5,-M\}$ 非空

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：高次函数极值点个数与单调区间存在性的导数压轴

结论推广：三次导函数三根 $⟺$ 峰正谷负；存在性问题的”必要性探路 + 充分性证明”双段结构

方法推广：$f^{\prime }$ 的零点个数问题不要解三次方程，改用极值符号控制；$h(x)-27=(x-3)(x+3{)}^2$ 的因式分解提示 $x=-3$ 是”取等点”，区间绕开它即可

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.16 零点问题

类题演练 (Links)

• 2009-湖南卷文-19 解-导数对称极值
• 2010-湖南卷文-21 解-导数单调与存在性
• 2014-湖南卷文-21 解-导数零点
• 2013-湖南卷文-21 解-导数单调性与证明