2008-湖南卷理-08 单-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的几何性质与离心率范围求解。核心在于利用焦半径公式或双曲线第二定义建立关于离心率 $e$ 的代数不等式。

📌【题干】

Question

（2008年湖南卷(理)） 若双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$) 上横坐标为 $\frac{3a}{2}$ 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是 ()

A. $(1,2)$　　　　B. $(2,+\infty )$　　　　C. $(1,5)$　　　　D. $(5,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设该动点为 $P\left(\frac{3a}{2},y_0\right)$。因为其横坐标 $x_0=\frac{3a}{2}>a$，故点 $P$ 位于双曲线的右支上。
2. 利用双曲线右支上的焦半径公式写出 $P$ 到右焦点 $F_2$ 的距离 $d_1=e{x}_0-a$。
3. 写出左准线方程 $x=-\frac{a^2}{c}=-\frac{a}{e}$，表示出点 $P$ 到左准线的距离 $d_2=x_0+\frac{a}{e}$。
4. 依题意列出不等式 $d_1>d_2$，约去常数 $a$ 后化简求解一元二次不等式，得出离心率 $e$ 的取值范围。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设双曲线右支上一点 $P\left(\frac{3a}{2},y_0\right)$。 由双曲线的几何性质可知，点 $P$ 到右焦点 $F_2$ 的焦半径距离为： $d_1=e{x}_0-a=e\cdot \frac{3a}{2}-a=\frac{3}{2}ae-a$

双曲线的左准线方程为 $x=-\frac{a}{e}$， 则点 $P$ 到左准线的距离为： $d_2=\frac{3a}{2}-\left(-\frac{a}{e}\right)=\frac{3}{2}a+\frac{a}{e}$

根据题意有 $d_1>d_2$，即： $\frac{3}{2}ae-a>\frac{3}{2}a+\frac{a}{e}$

因为 $a>0$，两边同除以 $a$ 得： $\frac{3}{2}e-1>\frac{3}{2}+\frac{1}{e}⟹\frac{3}{2}e-\frac{5}{2}-\frac{1}{e}>0$

由于双曲线离心率 $e>1>0$，不等式两边同乘以 $2e$ 保持不等号方向不变： $3e^2-5e-2>0$ 因式分解得： $(3e+1)(e-2)>0$

解得 $e>2$ 或 $e<-\frac{1}{3}$。 结合双曲线离心率的固有定义域 $e>1$，取交集可得： $e>2$

故双曲线离心率的取值范围是 $(2,+\infty )$。

正确答案为：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线右支焦半径公式 $|P{F}_2|=ex-a$；双曲线准线间距模型。
2. 核心方法：公式代数化与一元二次不等式解法。
3. 避坑指南：容易把到“左准线”的距离误看或误算成到“右准线”的距离；在解除二次不等式后，必须扣合圆锥曲线中双曲线离心率严格大于 1 的隐含边界约束。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查双曲线传统核心两级性质（焦半径与准线）的经典综合小题，侧重于公式记忆的精确度与代数不等式的跨章节运算。
2. 结论推广: 凡是双曲线右支上横坐标为 $x_0$ 的点，其到右焦点距离大于到左准线距离的充要代数式均可统一写作：$e^2{x}_0-(x_0+a)e-1>0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-22 解-双曲线平行线距离
• 2009-上海卷理-21 解-双曲线
• 2009-北京卷文-19 解-双曲线准线与中点