2008-湖南卷理-12 填-椭圆

本题导读

本题考查椭圆的标准几何要素及代数斜率计算。通过已知条件表示出顶点与准线交点的具体坐标，结合离心率完成边长比例化简。

📌【题干】

Question

（2008年湖南卷(理)） 已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 的右焦点为 $F$，右准线为 $l$，离心率 $e=\frac{\sqrt{5}}{5}$.过顶点 $A(0,b)$ 作 $AM\perp l$，垂足为 $M$，则直线 $FM$ 的斜率等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 依题意写出右焦点 $F(c,0)$ 和右准线 $l:x=\frac{a^2}{c}$。由 $AM\perp l$ 确定垂足 $M$ 的坐标。
2. 运用直线的斜率公式写出 $k_{FM}$ 关于基本量 $a,b,c$ 的代数式，结合 $e=\frac{c}{a}$ 进行消元化简。

✅【答案】

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$1$

✍【详细解析】

Abstract

由椭圆的几何性质，右焦点为 $F(c,0)$，右准线方程为 $l:x=\frac{a^2}{c}$。 顶点为 $A(0,b)$。因为 $AM\perp l$ 且 $l$ 为竖直直线，所以垂足 $M$ 的纵坐标与 $A$ 相同，横坐标在准线上： $M\left(\frac{a^2}{c},b\right)$

根据两点间斜率公式，直线 $FM$ 的斜率为： $k_{FM}=\frac{b-0}{\frac{a^2}{c}-c}=\frac{b}{\frac{a^2-c^2}{c}}=\frac{bc}{a^2-c^2}$ 由于在椭圆中满足恒等式 $a^2-c^2=b^2$，代入上式消元得： $k_{FM}=\frac{bc}{b^2}=\frac{c}{b}$

又已知离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，可设 $c=\sqrt{5}k$，$a=5k$ ($k>0$)。 则由 $b^2=a^2-c^2$ 可得： $b^2=(5k{)}^2-(\sqrt{5}k{)}^2=25k^2-5k^2=20k^2⟹b=2\sqrt{5}k$

代入斜率表达式： $k_{FM}=\frac{c}{b}=\frac{\sqrt{5}k}{2\sqrt{5}k}=\frac{1}{2}$

正确答案为：$\frac{1}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆准线方程 $x=\frac{a^2}{c}$；椭圆基本量关系 $b^2=a^2-c^2$ 的代数化简。
2. 核心方法：坐标参数化与消元法。
3. 避坑指南：极易在求 $M$ 点坐标时把横纵坐标弄反；另外在化简斜率时，善于利用 $a^2-c^2=b^2$ 进行整体替换，可大大避免引入根式计算的麻烦。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是平面解析几何中关于圆锥曲线几何性质（第二定义相关元素）的经典填空题，着重考查基本要素变形。
2. 结论推广: 对于任意椭圆，过上顶点向右准线引垂线得到垂足 $M$，该垂足与右焦点连线的斜率 $k$ 恒等于 $\frac{c}{b}=\frac{e}{\sqrt{1-e^2}}$。本题直接代入 $e=\frac{\sqrt{5}}{5}$ 即可秒杀得到 $\frac{1}{2}$。

🔗【关联脉络】

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• （待补）

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-12 填-椭圆焦点三角形面积
• 2009-上海卷理-09 填-椭圆
• 2009-北京卷文-13 填-椭圆焦点三角形