2008-湖南卷理-14 填-导数

本题导读

本题考查含有参数的根式分式复合函数的定义域与单调性区间。解题关键在于根据分母中参数 $a-1$ 的正负号对函数整体单调性方向的影响进行分类讨论。

📌【题干】

Question

（2008年湖南卷(理)） 已知函数 $f(x)=\frac{\sqrt{3-ax}}{a-1}$ ($a\ne 1$).

(1)若 $a>1$，则 $f(x)$ 的定义域是 $\underline{}$；

(2)若 $f(x)$ 在区间 $(0,1]$ 上是减函数，则实数 $a$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：根据算术平方根内部代数式非负的原则列出不等式 $3-ax\ge 0$，结合 $a>1>0$ 求解 $x$。
2. 第二问：分 $a>1$ 和 $a<1$ 两种情况讨论：

• 当 $a>1$ 时，系数为正，要求内层函数 $u=3-ax$ 单调递减且在 $(0,1]$ 上恒大于或等于 0；
• 当 $a<1$ 时，系数为负，要求内层函数 $u=3-ax$ 单调递增且在 $(0,1]$ 上恒大于或等于 0。

✅【答案】

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$\left(-\infty ,\frac{3}{a}\right]；(-\infty ,0)\cup (1,3]$

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 若 $a>1$，要使函数有意义，需满足： $3-ax\ge 0⟹ax\le 3$ 因为 $a>1>0$，两边同除以 $a$ 不改变不等号方向，得 $x\le \frac{3}{a}$。 故 $f(x)$ 的定义域是 $\left(-\infty ,\frac{3}{a}\right]$。

(2)解： 要使 $f(x)$ 在 $(0,1]$ 上是减函数，需对分母的符号分情况讨论：

• 情况①：当 $a>1$ 时 此时 $a-1>0$，要使 $f(x)$ 单调递减，内层算术根式 $\sqrt{3-ax}$ 必须在 $(0,1]$ 上单调递减。 根据复合函数性质，需满足： $\{\begin{array}{l}-a<0(\text{内层一次函数斜率为负})\\ 3-a\cdot 1\ge 0(\text{右端点处根式内部非负})\end{array}⟹\{\begin{array}{l}a>0\\ a\le 3\end{array}$ 结合前提 $a>1$，此情况下参数范围为 $1<a\le 3$。

• 情况②：当 $a<1$ 时 此时 $a-1<0$，要使 $f(x)$ 单调递减，内层算术根式 $\sqrt{3-ax}$ 必须在 $(0,1]$ 上单调递增。 根据复合函数性质，需满足： $\{\begin{array}{l}-a>0(\text{内层一次函数斜率为正})\\ 3-a\cdot 0\ge 0(\text{左端点极限处非负})\end{array}⟹a<0$ 当 $a<0$ 时，对任意 $x\in (0,1]$ 均有 $3-ax>3>0$ 恒成立。 结合前提 $a<1$，此情况下参数范围为 $a<0$。

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty ,0)\cup (1,3]$。

正确答案为：$\left(-\infty ,\frac{3}{a}\right]$ ； $(-\infty ,0)\cup (1,3]$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：算术平方根的固有定义域；复合函数“同增异减”单调性判定法则。
2. 核心方法：分类讨论法（由分母正负号决定增减趋势的反转）。
3. 避坑指南：第二问极易漏掉 $a<1$ 的负数区间情况。当 $a<1$ 时，整个分式前面相当于多了一个负号，会使原根式的增减性发生颠倒。此外，必须保证给定单调区间完全落在函数的定义域内（即端点防空洞约束 $\ge 0$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是由基础初等函数（根式与线性函数）复合而成的传统单调性逆向参数范围求解题。
2. 结论推广: 对于函数 $y=\frac{\sqrt{f(x)}}{A}$，其在某一区间上的单调性方向不仅取决于 $f(x)$ 的导数符号，更由常数 $A$ 的正负号起决定性控制作用。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-19 解-偶函数与导数
• 2010-安徽卷文-20 解-三角函数导数单调极值
• 2010-重庆卷文-19 解-奇函数导数最值