2008-福建卷理-02 单-集合

本题导读

本题考查分式不等式的解法以及利用集合的包含关系判定充分必要条件。

📌【题干】

Question

（2008年福建卷(理)） 设集合 $A=\left\{x|\frac{x}{x-1}<0\right\}$, $B=\{x|0<x<3\}$, 那么 “$m\in A$” 是 “$m\in B$” 的 ()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

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1. 解分式不等式求出集合 $A$ 的范围。
2. 比较集合 $A$ 与集合 $B$ 的包含关系，利用集合法判定充要条件。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由 $\frac{x}{x-1}<0$ 可等价转化为 $x(x-1)<0$，解得 $0<x<1$。 所以集合 $A=\{x|0<x<1\}$。 又因为 $B=\{x|0<x<3\}$，显然 $AB$。 因此，由 $m\in A$ 能推出 $m\in B$，但由 $m\in B$ 不能推出 $m\in A$。 所以 “$m\in A$” 是 “$m\in B$” 的充分而不必要条件。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分式不等式的等价转化；充分条件、必要条件的判定。
2. 核心方法：集合包含关系法。若 $AB$，则 $m\in A$ 是 $m\in B$ 的充分不必要条件。
3. 避坑指南：转化分式不等式时注意分母不为 0，区间开口方向勿弄错。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源: 本题是由教材中一元二次不等式与常用逻辑用语两章核心内容结合改编而成的经典常规题。
5. 结论推广: 设命题 $p:x\in A$，命题 $q:x\in B$。若 $A\subseteq B$，则 $p\Rightarrow q$；若 $B\subseteq A$，则 $q\Rightarrow p$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2009-湖北卷文-13 填-集合交集与不等式
• 2012-天津卷文-09 填-绝对值不等式与整数集合
• 2009-上海卷文-02 填-集合并集定参