2008-福建卷理-11 单-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的定义与几何性质，通过焦点到双曲线上点的距离关系，利用双曲线的范围边界条件构建关于基本量 $a,c$ 的不等式，从而求解离心率范围。

📌【题干】

Question

（2008年福建卷(理)） 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的两个焦点为 $F_1、F_2$，若 $P$ 为其上一点，且 $|P{F}_1|=2|P{F}_2|$，则双曲线离心率的取值范围为 ()

A. $(1,3)$　　　　　B. $(1,3]$　　　　　C. $(3,+\infty )$　　　　　D. $[3,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $|P{F}_1|=2|P{F}_2|$ 可知 $P$ 点在双曲线的右支上。
2. 根据双曲线定义有 $|P{F}_1|-|P{F}_2|=2a$，代入已知条件求出 $|P{F}_2|=2a$。
3. 利用双曲线右支上的点到右焦点 $F_2$ 的最短距离为 $c-a$，列出不等式 $c-a\le |P{F}_2|$ 求解离心率 $e$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为 $|P{F}_1|=2|P{F}_2|>|P{F}_2|$，所以点 $P$ 在双曲线的右支上。 由双曲线的定义可知：$|P{F}_1|-|P{F}_2|=2a$。 将 $|P{F}_1|=2|P{F}_2|$ 代入上式得： $2|P{F}_2|-|P{F}_2|=2a⟹|P{F}_2|=2a$ 因为点 $P$ 在双曲线的右支上，所以点 $P$ 到右焦点 $F_2$ 的最小距离为双曲线的右顶点到右焦点的距离，即： $|P{F}_2|\ge c-a$ 因此有： $2a\ge c-a⟹c\le 3a$ 两边同除以 $a$ 得： $e=\frac{c}{a}\le 3$ 又因为双曲线的离心率 $e>1$， 所以离心率 $e$ 的取值范围为 $(1,3]$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线定义中两焦半径的差值关系；双曲线上点到焦点距离的最值。
2. 核心方法：边界值法。利用几何图形中天然存在的临界位置（如顶点）构建不等式。
3. 避坑指南：容易盲目利用三角形两边之和大于第三边列出 $2a+4a>2c⟹e<3$，虽然结果相同，但忽略了 $P,F_1,F_2$ 三点共线（即 $P$ 在顶点处）的特殊临界情况。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源: 本题基于双曲线焦半径性质进行创新设计，利用顶点处的极值作为不等式突破口。
5. 结论推广: 若双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 右支上存在一点 $P$ 满足 $|P{F}_1|=\lambda |P{F}_2|(\lambda >1)$，则由 $|P{F}_2|=\frac{2a}{\lambda -1}\ge c-a$ 可得该双曲线离心率的取值范围为 $\left(1,\frac{\lambda +1}{\lambda -1}\right]$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-22 解-双曲线平行线距离
• 2009-上海卷理-21 解-双曲线
• 2009-北京卷文-19 解-双曲线准线与中点