2008-福建卷理-17 解-向量

本题导读

本题是一道典型的平面向量与三角恒等变换交汇的解答题。第一问通过向量数量积构建三角方程，利用辅助角公式求解锐角 $A$；第二问利用二倍角公式统一函数名称，通过换元法转化为二次函数在闭区间上的最值问题。

📌【题干】

Question

（2008年福建卷(理)） 已知向量 $\mathbf{m}=(\sin A,\cos A)$，$\mathbf{n}=(\sqrt{3},-1)$，$\mathbf{m}\cdot \mathbf{n}=1$，且 $A$ 为锐角.

(1) 求角 $A$ 的大小；

(2) 求函数 $f(x)=\cos 2x+4\cos A\sin x(x\in \mathbf{R})$ 的值域.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：根据向量数量积的坐标运算公式展开 $\mathbf{m}\cdot \mathbf{n}=1$，利用辅助角公式化简为单一的正弦函数，结合 $A$ 是锐角确定角 $A$ 的值。
2. 第二问：将第一问求得的 $A$ 代入函数解析式，利用二倍角公式将 $\cos 2x$ 展开为以 $\sin x$ 为自变量的代数式，通过换元法令 $t=\sin x(t\in [-1,1])$，转化为二次函数求最值。

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函数 $f(x)$ 的值域为 $\left[-3,\frac{3}{2}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1) 因为 $\mathbf{m}=(\sin A,\cos A)$，$\mathbf{n}=(\sqrt{3},-1)$，且 $\mathbf{m}\cdot \mathbf{n}=1$， 所以 $\sqrt{3}\sin A-\cos A=1$。 提取公因式变形为： $2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin A-\frac{1}{2}\cos A\right)=1⟹\sin \left(A-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$ 因为 $A$ 为锐角，所以 $0<A<\frac{\pi }{2}$， 则 $-\frac{\pi }{6}<A-\frac{\pi }{6}<\frac{\pi }{3}$。 因此 $A-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}$，解得 $A=\frac{\pi }{3}$。

(2) 由(1)得 $A=\frac{\pi }{3}$，所以 $\cos A=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$。 代入函数解析式得： $f(x)=\cos 2x+4\times \frac{1}{2}\sin x=\cos 2x+2\sin x$ 利用二倍角公式 $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$ 统一函数名称： $f(x)=1-2{\sin }^{2}x+2\sin x=-2{\sin }^{2}x+2\sin x+1$ 令 $t=\sin x$，因为 $x\in \mathbf{R}$，所以 $t\in [-1,1]$。 原函数转化为关于 $t$ 的二次函数： $g(t)=-2t^2+2t+1=-2{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{2},t\in [-1,1]$ 当 $t=\frac{1}{2}$ 时，函数取得最大值，最大值为 $g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}$； 当 $t=-1$ 时，函数取得最小值，最小值为 $g(-1)=-2(-1{)}^2+2(-1)+1=-3$。 综上所述，函数 $f(x)$ 的值域为 $\left[-3,\frac{3}{2}\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量数量积的坐标表示；辅助角公式的应用；利用两倍角公式进行三角恒等变换；二次函数在闭区间上的最值。
2. 核心方法：换元法。通过换元将三角函数的最值问题转化为熟悉的二次函数最值问题。
3. 避坑指南：

• 在第一问中，由 $\sin \left(A-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$ 解角时，必须严格根据 $A$ 的范围确定临界条件，避免多解。
• 在第二问换元时，切记标明新变量的取值范围 $t\in [-1,1]$，若忽略此范围，直接按常规二次函数在实数集上求最值，极易在求最小值时出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于高考解答题中典型的三角与向量交汇题型，考查结构稳定，通常作为解答题的第一道或第二道，源于教材中三角复合函数性质的研究。
2. 结论推广: 对于形如 $f(x)=a\cos 2x+b\sin x+c$ 的一类函数求最值，均可利用二倍角公式将其化为 $-2a{\sin }^{2}x+b\sin x+(a+c)$，进而通过换元转化为二次函数在闭区间 $[-1,1]$ 上的最值模型。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2010-北京卷文-04 单-向量数量积函数
• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2009-上海卷文-04 填-框图分段函数