2008-辽宁卷文-03 单-直线与圆无公共点

本题导读

$d=\frac{|0-0+2|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{2}{\sqrt{k^2+1}}>1$，即 $k^2+1<4$，得 $-\sqrt{3}<k<\sqrt{3}$.

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(文)） 圆 $x^2+y^2=1$ 与直线 $y=kx+2$ 没有公共点的充要条件是()

A. $k\in (-\sqrt{2},\sqrt{2})$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $k\in (-\sqrt{3},\sqrt{3})$

C. $k\in (-\infty ,-\sqrt{2})\cup (\sqrt{2},+\infty )$　　　　　　　　　　　　　D. $k\in (-\infty ,-\sqrt{3})\cup (\sqrt{3},+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

直线 $y=kx+2$ 恒过定点 $(0,2)$，在圆外；“没有公共点”即圆心到直线距离大于半径，注意是充要条件，两个方向都要成立.

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

圆 $x^2+y^2=1$ 的圆心为 $O(0,0)$，半径 $r=1$．直线 $y=kx+2$ 化为一般式 $kx-y+2=0$．圆与直线没有公共点 $\iff$ 圆心到直线的距离大于半径，即 $d=\frac{|k\cdot 0-0+2|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{2}{\sqrt{k^2+1}}>1$．两边平方：$\frac{4}{k^2+1}>1$，得 $k^2+1<4$，即 $k^2<3$，所以 $-\sqrt{3}<k<\sqrt{3}$．这是一个充要条件．故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与圆位置关系的充要条件

核心方法：无公共点 $\iff$ 圆心到直线距离 $d>r$，解参数范围

避坑指南：直线 $y=kx+2$ 恒过定点 $(0,2)$ 在圆外，$d=\frac{2}{\sqrt{k^2+1}}$，别把 $r=1$ 写成 $2$；题目要求”充要条件”，解出的开区间两端都要严格不等

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材直线与圆位置关系，$d$ 与 $r$ 比较法

结论推广：圆 $x^2+y^2=r^2$ 与直线 $Ax+By+C=0$ 无公共点$\iff \frac{|C|}{\sqrt{A^2+B^2}}>r$

方法推广：过定点直线与圆的位置关系，可先定点与圆心距离判断大致范围；“充要条件”题要把条件与结论双向等价表述

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.04 距离公式汇总
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2008-辽宁卷理-03
• 2013-辽宁卷文-20 解-抛物线双切线