2013-辽宁卷文-20 解-抛物线双切线

本题导读

本题考查抛物线的标准方程。核心在于判别式法、韦达定理的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(文)） 如图，抛物线 $C_1:x^2=4y$，$C_2:x^2=-2py$（$p>0$）. 点 $M(x_0,y_0)$ 在抛物线 $C_2$ 上，过 $M$ 作 $C_1$ 的切线，切点为 $A$，$B$（$M$ 为原点 $O$ 时，$A$，$B$ 重合于 $O$）. 当 $x_0=1-\sqrt{2}$ 时，切线 $MA$ 的斜率为 $-\frac{1}{2}$.

(1)求 $p$ 的值；

(2)当 $M$ 在 $C_2$ 上运动时，求线段 $AB$ 中点 $N$ 的轨迹方程（$A$，$B$ 重合于 $O$ 时，中点为 $O$）.

🔍【思路分析】

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1. $(1)$ 切线 $y=kx-k^2$ 过 $M$：$y_0=k{x}_0-k^2$；又 $y_0=-\frac{x_0^2}{2p}$，代 $x_0=1-\sqrt{2}$、$k=-\frac{1}{2}$ 解出 $p=2$。
2. $(2)$ 两切线都过 $M(x_0,y_0)$ → $k_1,k_2$ 是 $k^2-x_{0}k+y_0=0$ 的两根：$k_1+k_2=x_0$，$k_1{k}_2=y_0=-\frac{x_0^2}{4}$。
3. 切点 $A(2k_1,k_1^2)$、$B(2k_2,k_2^2)$ → $x_N=k_1+k_2=x_0$，$y_N=\frac{(k_1+k_2{)}^2-2k_1{k}_2}{2}=\frac{3x_0^2}{4}$ → $y_N=\frac{3}{4}{x}_N^2$，即 $x^2=\frac{4}{3}y$。

✅【答案】

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(1)$p=2$；(2)$x^2=\frac{4}{3}y$

✍【详细解析】

Abstract

（1） $M(x_0,y_0)$ 在 $C_2:x^2=-2py$ 上，故 $y_0=-\frac{x_0^2}{2p}$。 先求 $C_1:x^2=4y$ 的切线：设 $y=kx+b$，代入得 $x^2-4kx-4b=0$，相切要求 $\Delta =16k^2+16b=0$，即 $b=-k^2$，此时切点为 $(2k,k^2)$，故切线为 $y=kx-k^2$。 切线过 $M$：$y_0=k{x}_0-k^2$。代 $x_0=1-\sqrt{2}$，$y_0=-\frac{(1-\sqrt{2}{)}^2}{2p}=-\frac{3-2\sqrt{2}}{2p}$，$k=-\frac{1}{2}$： $-\frac{3-2\sqrt{2}}{2p}=-\frac{1-\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{4}=-\frac{3-2\sqrt{2}}{4}\Rightarrow 2p=4\Rightarrow p=2.$ （2） 此时 $C_2:x^2=-4y$，$y_0=-\frac{x_0^2}{4}$。 设两切线斜率为 $k_1$，$k_2$（$M=O$ 时 $A$，$B$ 重合，$k_1=k_2=0$ 亦成立），切点 $A(2k_1,k_1^2)$，$B(2k_2,k_2^2)$。 两切线都过 $M$：$y_0=k_i{x}_0-k_i^2$，即 $k_i^2-x_0{k}_i+y_0=0$（$i=1,2$）。 由韦达定理：$k_1+k_2=x_0$，$k_1{k}_2=y_0=-\frac{x_0^2}{4}$。 $AB$ 中点 $N(x_N,y_N)$： $x_N=\frac{2k_1+2k_2}{2}=k_1+k_2=x_0,$ $y_N=\frac{k_1^2+k_2^2}{2}=\frac{(k_1+k_2{)}^2-2k_1{k}_2}{2}=\frac{x_0^2+\frac{x_0^2}{2}}{2}=\frac{3x_0^2}{4}.$ $x_0$ 取遍全体实数（$M$ 在 $C_2$ 上运动），故 $y=\frac{3}{4}{x}^2,\text{即}{x}^2=\frac{4}{3}y,$ 为所求轨迹方程（含 $A$，$B$ 重合于 $O$ 的点 $O$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的切线与中点轨迹

核心方法：$(1)$ $y_0=-\frac{x_0^2}{2p}$，$y_0=k{x}_0-k^2$（切线 $y=kx-k^2$ 过 $M$）：代 $x_0=1-\sqrt{2}$、$k=-\frac{1}{2}$ 得 $p=2$；$(2)$ 切点 $A(2k_1,k_1^2)$，$B(2k_2,k_2^2)$，且 $k_1+k_2=x_0$、$k_1{k}_2=-\frac{x_0^2}{4}$ → $N\left(x_0,\frac{3x_0^2}{4}\right)$ → $x^2=\frac{4}{3}y$

避坑指南：抛物线 $x^2=4y$ 的切线 $y=kx-k^2$（截距是 $-k^2$，由 $\Delta =0$ 得来）；两切线过同一点 $M$ → 斜率 $k_1,k_2$ 是 $k^2-x_{0}k+\frac{x_0^2}{4}=0$ 的两根，韦达定和与积；中点 $N$ 的纵坐标用 $k_1^2+k_2^2=(k_1+k_2{)}^2-2k_1{k}_2$ 拼——漏掉”$A$、$B$ 重合于 $O$“的退化情形说明会扣分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线的切线（判别式法）与中点轨迹方程。

结论推广：设切线判别式为零；韦达定理拼中点。

方法推广：定 $p$ → 切线系过定点定 $k$ 的方程 → 中点坐标用对称式 → 消参得轨迹。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷文-20 解-抛物线切线弦
• 2014-湖南卷文-14 填-抛物线
• 2013-新课标II卷文-20 解-圆的方程与轨迹