2008-辽宁卷文-04 单-对数运算比较大小

本题导读

$x = lo g_{a} 6$ ， $y = lo g_{a} 5$ ， $z = lo g_{a} 7$ ； $0 < a < 1$ 时对数递减， $5 < 6 < 7$ ，故 $y > x > z$ .

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(文)）已知 $0 < a < 1$ ， $x = lo g_{a} 2 + lo g_{a} 3$ ， $y = \frac{1}{2} lo g_{a} 5$ ， $z = lo g_{a} 21 - lo g_{a} 3$ ，则()

A. $x > y > z$ 　　　　　B. $z > y > x$ 　　　　　C. $y > x > z$ 　　　　　D. $z > x > y$

🔍【思路分析】

破题导航

先把三个量都化成” $lo g_{a}$ 一个真数”的形式，再借助底数 $0 < a < 1$ 时对数函数单调递减，把真数的大小关系反序即得函数值关系.

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由对数运算法则： $x = lo g_{a} 2 + lo g_{a} 3 = lo g_{a} (2 \cdot 3) = lo g_{a} 6$ ； $y = \frac{1}{2} lo g_{a} 5 = lo g_{a} 5^{\frac{1}{2}} = lo g_{a} 5$ ； $z = lo g_{a} 21 - lo g_{a} 3 = lo g_{a} \frac{21}{3} = lo g_{a} 7$ ．因为 $5 < 6 < 7$ ，且底数 $0 < a < 1$ 时 $y = lo g_{a} x$ 单调递减，所以 $lo g_{a} 5 > lo g_{a} 6 > lo g_{a} 7$ ，即 $y > x > z$ ．故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数运算性质与单调性比较大小

核心方法：把各量化为 $lo g_{a}$ 同一真数，借助底数 $0 < a < 1$ 时对数递减比较

避坑指南： $\frac{1}{2} lo g_{a} 5 = lo g_{a} 5$ ，别把系数 $\frac{1}{2}$ 误当真数的平方根方向算反；底数在 $(0, 1)$ 时对数单调递减，真数大者函数值反而小

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材对数运算性质与对数函数单调性

结论推广： $lo g_{a} m + lo g_{a} n = lo g_{a} (mn)$ ， $lo g_{a} m - lo g_{a} n = lo g_{a} \frac{m}{n}$ ； $0 < a < 1$ 时 $y = lo g_{a} x$ 递减

方法推广：比较对数大小先统一底数与真数结构；底数小于 $1$ 时单调性反向，真数大者函数值小

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

2013-新课标II卷理-08 单-对数运算

2014-辽宁卷文-03 单-指对数比较

∑ ( Math )

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2008-辽宁卷文-04 单-对数运算比较大小

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