2014-辽宁卷文-03 单-指对数比较

本题导读

以 $0$ 和 $1$ 为「分界」，分别确定 $a$、$b$、$c$ 所在的区间。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(文)） 已知 $a=2^{-\frac{1}{3}}$，$b={\log }_2\frac{1}{3}$，$c={\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}$，则()

A. $a>b>c$　　　　　B. $a>c>b$　　　　　C. $c>a>b$　　　　　D. $c>b>a$

🔍【思路分析】

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把 $c$ 换成同底的对数，再分别与 $0$、$1$ 比较。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

对 $a$：因为底数 $2>1$ 且指数 $-\frac{1}{3}<0$，所以 $0<a=2^{-\frac{1}{3}}<2^0=1$。 对 $b$：因为底数 $2>1$，且真数 $\frac{1}{3}<1$，所以 $b={\log }_2\frac{1}{3}<{\log }_{2}1=0$。 对 $c$：${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}=\frac{{\log }_2\frac{1}{3}}{{\log }_2\frac{1}{2}}=\frac{-{\log }_{2}3}{-1}={\log }_{2}3>{\log }_{2}2=1$。 于是 $c>1>a>0>b$，即 $c>a>b$，故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数与对数的大小比较

2. 核心方法：与 $0$、$1$ 比较的中间量法

3. 避坑指南：${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}$ 的底数小于 $1$，应先化为 ${\log }_{2}3$ 再判断；若直接凭「底小则小」的印象比较，极易把 $c$ 判小。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 指数函数与对数函数的单调性。

2. 结论推广: $2^{-\frac{1}{3}}\in (0,1)$；${\log }_2\frac{1}{3}<0$；${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}={\log }_{2}3>1$。

3. 方法推广: 比较大小固定三档：先与 $0$ 比，再与 $1$ 比，最后同底（或同真数）化成同一单调函数作比。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷理-03 单-指数函数图象
• 2014-安徽卷理-02 单-充分条件与必要条件