2008-辽宁卷文-05 单-向量相等求坐标

本题导读

$\overrightarrow{BC}=(4,3)$，$2\overrightarrow{AD}=(2D_x,2D_y-4)$，$2D_x=4$、$2D_y-4=3$，得 $D=(2,\frac{7}{2})$.

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(文)） 已知四边形 $ABCD$ 的三个顶点 $A(0,2)$，$B(-1,-2)$，$C(3,1)$，且 $\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AD}$，则顶点 $D$ 的坐标为()

A. $\left(2,\frac{7}{2}\right)$　　　　B. $\left(2,-\frac{1}{2}\right)$　　　　C. $(3,2)$　　　　D. $(1,3)$

🔍【思路分析】

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$\overrightarrow{BC}$ 由终点减起点坐标算出；设 $D=(x,y)$，写出 $\overrightarrow{AD}=(x,y-2)$，代入 $\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AD}$ 分坐标列方程组.

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$\overrightarrow{BC}=(3-(-1),1-(-2))=(4,3)$．设 $D=(x,y)$，则 $\overrightarrow{AD}=(x-0,y-2)=(x,y-2)$．由 $\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AD}$，得 $(4,3)=(2x,2y-4)$，即 $2x=4$，$2y-4=3$，解得 $x=2$，$y=\frac{7}{2}$．所以顶点 $D$ 的坐标为 $\left(2,\frac{7}{2}\right)$．故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量相等的坐标表示求点坐标

核心方法：终点坐标减起点坐标得向量，由向量相等分坐标列方程组

避坑指南：$\overrightarrow{BC}=C-B$，别把方向写反；$2\overrightarrow{AD}$ 要先把 $\overrightarrow{AD}$ 写成 $(x,y-2)$ 再乘 $2$，不要漏乘 $y$ 分量的 $-2$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材平面向量坐标运算，向量相等的坐标表示

结论推广：$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A)$；向量相等 $\iff$ 对应坐标相等

方法推广：求点坐标问题统一”终点 $=$ 起点 $+$ 向量”；系数倍乘要落到每个分量上

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2009-辽宁卷文-13 填-平行四边形向量坐标
• 2013-辽宁卷理-03 单-向量坐标