2013-辽宁卷理-03 单-向量坐标

本题导读

本题考查平面向量的坐标运算，以及向量的坐标表示。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(理)） 已知点 $A(1,3),B(4,-1)$，则与向量 $\overrightarrow{AB}$ 同方向的单位向量为()

A. $\left(\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right)$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $\left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right)$

C. $\left(-\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$　　　　　　　　　　　　　　　　D. $\left(-\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求向量坐标：利用终点坐标减起点坐标公式 $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A)$ 求出向量 $\overrightarrow{AB}$。
2. 求向量的模：利用公式 $|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$ 计算向量 $\overrightarrow{AB}$ 的模长。
3. 求单位向量：与 $\vec{a}$ 同方向的单位向量 $\vec{e}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算向量 $\overrightarrow{AB}$ 的坐标 已知 $A(1,3),B(4,-1)$，则： $\overrightarrow{AB}=(4-1,-1-3)=(3,-4)$

第二步：计算向量 $\overrightarrow{AB}$ 的模 $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^2+(-4{)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

第三步：计算同方向的单位向量 设所求单位向量为 $\vec{e}$，则： $\vec{e}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}=\frac{1}{5}(3,-4)=\left(\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right)$

故正确答案为：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：见详细解析

避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：见详细解析

结论推广：见详细解析。

方法推广：见详细解析

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.04 平面向量的坐标运算
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2025-新高考II卷-12 填-向量坐标运算
• 2023-北京卷-03 单-向量坐标运算
• 2014-广东卷文-03 单-向量坐标运算