2008-辽宁卷文-11 单-双曲线顶点到渐近线距离

本题导读

标准式 $\frac{y^2}{(1/3{)}^2}-\frac{x^2}{(1/m{)}^2}=1$，渐近线 $y=\pm \frac{m}{3}x$，顶点 $\left(0,\frac{1}{3}\right)$ 到 $mx-3y=0$ 距离$=\frac{1}{\sqrt{m^2+9}}=\frac{1}{5}$，得 $m^2=16$，$m=4$.

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(文)） 已知双曲线 $9y^2-m^2{x}^2=1$（$m>0$）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 $\frac{1}{5}$，则 $m=$()

A. $1$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

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先化成标准式看清 $a$、$b$，顶点与渐近线都由此定出；用点到直线距离公式列关于 $m$ 的方程.

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

双曲线 $9y^2-m^2{x}^2=1$ 化为标准式：$\frac{y^2}{1/9}-\frac{x^2}{1/m^2}=1$，即 $\frac{y^2}{(1/3{)}^2}-\frac{x^2}{(1/m{)}^2}=1$，实轴在 $y$ 轴上，顶点为 $\left(0,\pm \frac{1}{3}\right)$，渐近线方程为 $y=\pm \frac{1/3}{1/m}x=\pm \frac{m}{3}x$． 取顶点 $\left(0,\frac{1}{3}\right)$ 和渐近线 $mx-3y=0$，点到直线距离为 $d=\frac{|m\cdot 0-3\cdot \frac{1}{3}|}{\sqrt{m^2+9}}=\frac{1}{\sqrt{m^2+9}}$．由题设 $d=\frac{1}{5}$，得 $\sqrt{m^2+9}=5$，即 $m^2=16$，又 $m>0$，所以 $m=4$．故选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线几何性质与点到直线距离

核心方法：化标准式定顶点与渐近线，用点到直线距离公式列方程

避坑指南：$9y^2-m^2{x}^2=1$ 的实轴在 $y$ 轴，顶点是 $\left(0,\pm \frac{1}{3}\right)$，别放到 $x$ 轴；渐近线斜率 $\frac{m}{3}$ 中的 $m$ 是 $\sqrt{m^2}$，解出 $m^2=16$ 后由 $m>0$ 取 $m=4$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材双曲线标准方程与渐近线

结论推广：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$ 的渐近线 $y=\pm \frac{a}{b}x$；顶点到渐近线距离用点到直线距离公式

方法推广：双曲线先化标准式定 $a$、$b$ 与实轴方向；渐近线方程与顶点坐标都由标准式直接读出

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷文-15 填-双曲线焦点弦周长
• 2014-辽宁卷理-20 解-椭圆与双曲线的标准方程